Questão 1 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Progressão Aritmética

A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado $n \times n$ menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de $n \times n$ ?

Resolução

a) Um quadrado $3 \times 3$ qualquer nessa tabela terá o formato:

$n - 8$	$n - 7$	$n - 6$
$n - 1$	$n$	$n + 1$
$n + 6$	$n + 7$	$n + 8$

A $S$ soma de seus nove elementos é dada por:

$S = (n - 8) + (n - 7) + (n - 6) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8)$

$\Leftrightarrow S = 9 n$

Assim, para qualquer natural $n$ , a soma $S$ será um múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números terá 4 linhas e 4 colunas, no formato:

$n$	$n + 1$	$n + 2$	$n + 3$
$n + 7$	$n + 8$	$n + 9$	$n + 10$
$n + 14$	$n + 15$	$n + 16$	$n + 17$
$n + 21$	$n + 22$	$n + 23$	$n + 24$

A soma $S$ de seus 16 elementos é dada por:

$S = 16 n + (1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 9 + 10 + 14 + 15 + 16 + 17 + 21 + 22 + 23 + 24)$

$\Leftrightarrow S = 16 n + 192$

Como queremos que tal soma seja 1.056, segue que:

$S = 1056 \Leftrightarrow 16 n + 192 = 1056 \Leftrightarrow n = 54$

c) Consideremos um quadrado $n \times n$ , com menor número igual a 4, que terá o formato:

	Coluna 1	Coluna 2	$\dots$	Coluna $n$
Linha 1	$a_{11} = 4$	$a_{12}$	$\dots$	$a_{1 n}$
Linha 2	$a_{21}$	$a_{12}$	$\dots$	$a_{2 n}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋱$
Linha $n$	$a_{n 1}$	$a_{n 2}$	$\dots$	$a_{n n}$

Observe que, independentemente do quadrado selecionado na tabela, ao longo de cada linha temos sempre progressões aritméticas de razão 1, e ao longo de cada coluna temos sempre progressões aritméticas de razão 7.

A soma $S_{1}$ dos elementos da primeira linha é dada por:

$S_{1} = \frac{(a_{11} + a_{1 n}) \cdot n}{2} = \frac{[4 + 4 + (n - 1) \cdot 1] \cdot n}{2} = \frac{n^{2} + 7 n}{2}$

Para as próximas linhas, como cada elemento de uma linha aumenta 7 unidades em relação ao elemento imediatamente acima, a linha inteira deve aumentar de $n \cdot 7$ em comparação com a linha anterior.

Ou seja, as somas em cada linha formam por sua vez uma progressão aritmética PA $(S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots, S_{n})$ de razão $7 n$ . A soma $S$ de todos os números do quadrado $n \times n$ corresponderá, portanto, à soma dos $n$ termos dessa progressão aritmética:

$S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots + S_{n} = \frac{(S_{1} + S_{n}) \cdot n}{2} = \frac{[S_{1} + S_{1} + (n - 1) \cdot 7 n] \cdot n}{2} \Leftrightarrow$

$S = \frac{[2 S_{1} + 7 n^{2} - 7 n] \cdot n}{2} = \frac{[2 \cdot (\frac{n^{2} + 7 n}{2}) + 7 n^{2} - 7 n] \cdot n}{2} = 4 n^{3}$

Fazendo essa soma igual a $108.000$ , temos que:

$S = 108000 \Leftrightarrow 4 n^{3} = 108000 \Leftrightarrow n^{3} = 27000 \Leftrightarrow n = 30$