Questão 6 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Interpretações Geométricas dos números complexos Números Complexos

Resolva os três itens abaixo:

a) Considere o conjunto formado pelos números complexos z que cumprem a condição $R e (z) = I m (z)$ . Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand‐Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que $z \neq - 1$ e para os quais $\frac{z - 1}{z + 1}$ é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que as representações de z, i ,e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Resolução

a) Seja $z = x + y i$ , com $x \in ℝ$ e $y \in ℝ$ . Pelo enunciado, temos que:

$R e (z) = I m (z) \Rightarrow x = y$

Assim, podemos reescrever $z$ da seguinte maneira:

$z = x + x i$

Agora, como cada elemento desse conjunto será transformado em seu conjugado, concluímos que todos os elementos do conjunto resultante serão da forma:

$\bar{z} = x - x i$

Veja que os elementos resultantes podem ser representados no plano de Argand-Gauss pelos afixos $P$ :

$\bar{z} = x - x i \Rightarrow P = (x, - x)$

Como os afixos $P$ tem coordenadas opostas, isso significa que os afixos pertencem à reta bissetriz dos quadrantes pares. Isto é:

$P \in y = - x$

Logo, a representação no plano é dada por:

b) Por propriedade dos números complexos, temos:

$w é i m a g i n á r i o p u r o \Leftrightarrow w = - \bar{w}$

Assim:

$\frac{z - 1}{z + 1} = - \bar{(\frac{z - 1}{z + 1})}$

Pelas propriedades de conjugado, temos a seguinte manipulação:

$\bar{(\frac{z - 1}{z + 1})} = \frac{\bar{z - 1}}{\bar{z + 1}} = \frac{\bar{z} - \bar{1}}{\bar{z} + \bar{1}} = \frac{\bar{z} - 1}{\bar{z} + 1}$

Desse modo:

$\frac{z - 1}{z + 1} = - \frac{\bar{z} - 1}{\bar{z} + 1} \Rightarrow z \cdot \bar{z} + z - \bar{z} - 1 = - z \cdot \bar{z} + z - \bar{z} + 1 \Rightarrow z \cdot \bar{z} = 1$

Sendo $z = x + y i$ , temos:

$z \cdot \bar{z} = 1 \Rightarrow (x + y i) \cdot (x - y i) = 1 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1$

Ou seja, o lugar geométrico é dado por uma circunferência centrada na origem e de raio unitário, exceto pelos pontos $(- 1, 0)$ e $(1, 0)$ .

Veja que não podemos utilizar o ponto...

(1) $(- 1, 0)$ : condição de existência da divisão. Veja que o denominador precisa ser diferente de zero, então $z \neq - 1$ . Assim, o lugar geométrico não passa por $(- 1, 0)$ .

(2) $(1, 0)$ : condição para ser imaginário puro. Veja que, se substituirmos no complexo dado, encontramos:

$\frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

Como $0 \in ℝ$ , então o ponto está excluído.

Desse modo, temos a seguinte representação no plano de Argand-Gauss:

c) Representando os complexos no plano de Argand-Gauss, encontramos:

Veja que os triângulos $A B P$ e $A B P'$ são equiláteros e o triângulo $A B O$ é isósceles e retângulo, sendo $O$ a origem do plano. Desse modo, ao traçar a mediatriz de $\bar{A B}$ , concluímos que esta passa pela origem e contém os pontos $P$ e $P'$ , que são os possíveis afixos para o complexo $z$ .

Assim, temos:

Veja que a reta $r$ , além de passar pela origem, faz ângulo de $45 °$ com o eixo real. Logo, a reta é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Ou seja:

$r : y = x$

Como o ponto $P$ pertence à reta $r$ , então podemos escrever suas coordenadas como $P = (x, x)$ .

Considere, agora, o triângulo $P M B$ . Por trigonometria no triângulo retângulo:

$\cos 60 ° = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{P B} \Rightarrow P B = \sqrt{2}$

Desse modo, temos:

$d_{P, B} = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(x - 0)}^{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Resolvendo a equação quadrática, encontramos:

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ ou $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Logo, as partes reais de todos os complexos z são:

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} e x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$