Questão 3 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Análise Combinatória Probabilidade

Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.

a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber?

b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas?

c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?

Resolução

a) Como a ordem em que as peças são escolhidas é irrelevante para a montagem de cada coleção, o total de coleções é dado por:

$(\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix}) = \frac{16!}{8! 8!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{2 \cdot 8}{8} \cdot \frac{3 \cdot 5}{6} \cdot \frac{2 \cdot 7}{7} \cdot 13 \cdot 11 \cdot 9 = 12.870$

b) Vamos impor que um dos jogadores receba 2 peças amarelas (das 4 existentes) e 6 peças das outras 3 cores (dentre as outras 12 peças). O total de coleções com 8 peças, sendo 2 amarelas, é dado por:

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot \frac{12!}{6! \cdot 6!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 2!} \cdot \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6!} = 5.544$

Logo, a probabilidade é dada por:

$p = \frac{5.544}{12.870} = \frac{11 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{13 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} \Rightarrow p = \frac{28}{65}$

c) Veja que precisamos descobrir as quantidades de cada formato para depois escolher as cores possíveis. Desse modo, as configurações possíveis são:

(1) 4 estrelas e 4 quadrados (SOMA 28):

$t_{1} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) = 1 \cdot 1 = 1$

(2) 4 estrelas, 3 quadrados e 1 triângulo (SOMA 27):

$t_{2} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 1 \cdot 4 \cdot 4 = 16$

(3) 4 estrelas, 3 quadrados e 1 círculo (SOMA 26):

$t_{3} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 1 \cdot 4 \cdot 4 = 16$

(4) 3 estrelas, 4 quadrados e 1 triângulo (SOMA 26):

$t_{4} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16$

(5) 4 estrelas, 2 quadrados e 2 triângulos (SOMA 26):

$t_{5} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 1 \cdot 6 \cdot 6 = 36$

Logo, o total de possíveis coleções é dado por:

$T = 1 + 16 + 16 + 16 + 36 \Rightarrow T = 85 coleções$