Questão 2 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Progressão Geométrica Equações e inequações logarítmicas

O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:

Passo 0: começa-se com um triângulo

equilátero de lados de medida 1

Passo 1: divide-se cada lado do

triângulo de Passo 0 em 3 segmentos

iguais e constrói-se um triângulo

equilátero com base em cada

segmento do meio.

Passo 2: repete-se o procedimento

descrito no Passo 1 em cada lado da figura obtida no passo anterior.

Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, ...) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões)?

Note e adote:

$\log_{10} 2 ≅ 0, 301$

Resolução

Observe que, em cada um dos passos, um segmento sempre dá origem a 4 novos segmentos, cada um com medida igual a $\frac{1}{3}$ da medida do segmento original. Veja na figura:

Assim, o número de lados $a_{n}$ da figura quadriplica a cada passo, isto é, aumenta em progressão geométrica de razão $q = 4$ , enquanto o comprimento $L_{n}$ de cada lado diminui em progressão geométrica de razão $q' = \frac{1}{3}$ . Temos que:

$\{\begin{cases} a_{n} = a_{0} \cdot q^{n} = 3 \cdot 4^{n} \\ L_{n} = L_{0} \cdot {(q')}^{n} = 1 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} = {(\frac{1}{3})}^{n} \end{cases}$

a) O número de lados no Passo 3 é dado por:

$a_{3} = 3 \cdot 4^{3} = 192 lados$

b) No passo 5, o número de lados da figura é dado por:

$a_{5} = 3 \cdot 4^{5}$

Por outro lado, o comprimento de lado é dado por:

$L_{5} = {(\frac{1}{3})}^{5}$

Assim, o perímetro da figura no Passo 5, que é o produto do número de lados pelo comprimento de cada um, será igual a:

$a_{5} \cdot L_{5} = 3 \cdot 4^{5} \cdot \frac{1}{3^{5}} = \frac{1024}{81}$

c) Temos que:

$a_{n} > 6 \cdot 10^{12} \Leftrightarrow 3 \cdot 4^{n} > 6 \cdot 10^{12}$

Dividindo ambos os membros da inequação por 6, o sinal da inequação se mantém:

$\frac{{(2^{2})}^{n}}{2} > 10^{12} \Leftrightarrow 2^{2 n - 1} > 10^{12}$

Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os membros da inequação, o sinal da inequação se mantém, pois a base é maior que 1 (logaritmos em base maior que 1 são funções estritamente crescentes):

$\log_{10} 2^{2 n - 1} > \log_{10} 10^{12} \Leftrightarrow (2 n - 1) \cdot \log_{10} 2 > 12 \Leftrightarrow$

$(2 n - 1) \cdot 0, 301 > 12 \Leftrightarrow n > 20, 4 \dots$

Assim, a partir do Passo 21 o número de lados da figura supera 6 trilhões.