Questão 5 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2

Vamos iniciar expressando a função $f$ dada de uma outra maneira. Elevando ao quadrado ambos os membros da relação fundamental da Trigonometria (${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$), temos que:

${\left({\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2=1^2\iff {\mathrm{sen}}^{4}x+2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=1\iff$

${\mathrm{sen}}^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x\iff f\left(x\right)=1-2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x$

Como $2·\mathrm{sen}x·\cos x=\mathrm{sen}\left(2x\right)$, temos que:

$f\left(x\right)=1-\frac{2^2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x}{2}=1-\frac{{\left(2·\mathrm{sen}x·\cos x\right)}^2}{2}\iff f\left(x\right)=1-\frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}$

Usaremos essa expressão para a função $f$ ao longo da resolução.

Aliado a isso, observamos ainda que:

$0⩽x⩽\mathrm{\pi }\iff 0⩽2\mathrm{x}⩽2\mathrm{\pi }$

Isto é:

$x\in \left[0,\mathrm{\pi }\right]\iff 2x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right]$

a) Temos que:

$f\left(x\right)=1\iff 1-\frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=1\iff \frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=0\iff$

${\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)=0\iff \mathrm{sen}\left(2x\right)=0$

Como $2x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right]$, vem que:

$\mathrm{sen}\left(2x\right)=0\iff 2x=0\text{ ou }2x=\pi \text{ ou }2x=2\pi \iff$

$x=0\text{ ou }x=\frac{\pi }{2}\text{ ou }x=\pi$

Assim:

$\boxed{V_1=\left\{0,\frac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }\right\}}$

b) Temos que:

$f\left(x\right)=\frac{5}{8}\iff 1-\frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=\frac{5}{8}\iff \frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=\frac{3}{8}\iff$

${\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)=\frac{3}{4}\iff \mathrm{sen}\left(2x\right)=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Como $2x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right]$, vem que:

$\mathrm{sen}\left(2x\right)=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }2x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }2x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\iff$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}\text{ ou }x=\frac{\pi }{3}\text{ ou }x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$

Assim:

$\boxed{V_2=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{\mathrm{\pi }}{3},\frac{2\mathrm{\pi }}{3},\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right\}}$

c) Temos que:

$\frac{1}{2}f\left(x\right)+\frac{3}{8}\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾\frac{5}{8}\iff \frac{1}{2}·\left[1-\frac{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}}{2}\right]+\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 8}}\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 8}}\iff$

$\frac{1}{2}-\frac{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}}{4}+\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 8}}\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 8}}$

Multiplicando a inequação toda por 8, o sinal da inequação se mantém, já que estamos multiplicando por um número positivo. Assim, ficamos com:

$4-2{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)+3\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾5\iff 2{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)-3\mathrm{sen}\left(2x\right)+1⩽0$

Fazendo a troca de variável $\mathrm{sen}\left(2x\right)=t$, vem que:

$2t^2-3t+1⩽0$

Resolvendo graficamente essa inequação na variável $t$, temos:

Logo:

$\frac{1}{2}⩽t⩽1\iff \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}⩽\mathrm{sen}\left(2x\right)⩽1$

No ciclo trigonométrico:

Portanto:

$\frac{\mathrm{\pi }}{6}⩽2x⩽\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\iff \frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 12}}⩽x⩽\frac{{\displaystyle 5\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 12}}$

Assim:

$\boxed{V_3=\left[\frac{\mathrm{\pi }}{12},\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right]}$