Questão 4 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2

a) Como a altura do trapézio coincide com o diâmetro da circunferência, temos:

Por trigonometria no triângulo $APB$:

$\mathrm{sen}\alpha =\frac{10}{AB}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{10}{AB} \therefore \boxed{AB=\frac{50}{3}}$.

b) Sabendo que $W$ e $X$ são pontos de tangência. Temos:

Veja que os triângulos $AXO$ e $AWO$ são congruentes pelo caso especial do triângulo retângulo. Assim, concluímos que:

(1) $\overline{AX}\equiv \overline{AW}$ (segmentos tangentes são sempre congruentes);

(2) $\theta =\frac{\alpha }{2}$

Para determinar a medida de $\overline{AX}$, precisamos determinar o valor de $\mathrm{tg}\theta$. Desse modo, calculemos:

(1) $\mathrm{tg}\alpha$:

Pela relação fundamental trigonométrica:

${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$.

Como $0°<\alpha <90°$, então $\cos \alpha =\frac{4}{5}$. Desse modo, temos:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}\Rightarrow \mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$.

(2) $\mathrm{tg}\theta$:

Como $\theta =\frac{\alpha }{2}$, então:

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\left(2·\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{2·\mathrm{tg}\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)}{1-{\mathrm{tg}}^2\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{2·\mathrm{tg}\theta }{1-{\mathrm{tg}}^2\theta }\Rightarrow 3{\mathrm{tg}}^2\theta +8\mathrm{tg}\theta -3=0$.

Resolvendo a equação quadrática na variável $\mathrm{tg}\theta$, temos:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3}$ ou $\mathrm{tg}\theta =-3$.

Se $0°<\alpha <90°$, então $0°<\theta <45°$. Então, $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3}$.

Assim, por trigonometria no triângulo $AOW$, temos:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{5}{AW}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{5}{AW}\Rightarrow \boxed{AW=AX=15}$.

c) Sabendo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são pontos de tangência. Então, concluímos, por segmentos tangentes, que:

(1) $AX=AW=15$

(2) $BX=BY=\frac{50}{3}-15=\frac{5}{3}$

(3) $CY=CZ=b$

(4) $DZ=DW=a$

Assim, temos a seguinte figura:

Veja que:

$CD=a+b=15$.

Logo, a área do trapézio é dada por:

$A=\frac{\left(AD+BC\right)·YW}{2}=\frac{\left(15+a+\frac{5}{3}+b\right)·\cancel{10}}{\cancel{2}}=\left(15+15+\frac{5}{3}\right)·5\Rightarrow \boxed{A=\frac{475}{3}}$.