Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Áreas do Prisma

Um fabricante de produtos de beleza está modificando as dimensões da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado 100𝜋olho. Atualmente, as embalagens têm o formato de um paralelepípedo com $18 cm$ de altura e com base retangular de dimensões $2 cm \times 3 cm$ .

São utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral é mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ 40,00 o metro quadrado, pois ele é mais resistente.

a) Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens?

b) Por questões logísticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paralelepípedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumétrica que as embalagens atuais. Quais as dimensões da nova embalagem e o custo de produção de 100 delas, considerando os mesmos materiais para produção?

Resolução

a) Observemos incialmente que devemos supor o paralelepípedo retângulo indicado no enunciado como sendo também reto, de modo a encontrarmos todas as faces laterais também retangulares. Deste modo, segue abaixo uma ilustração da situação descrita no enunciado.

Logo, a área lateral da embalagem é composta por duas faces de dimensões 2 cm x 18 cm e duas faces de dimensões 3 cm x 18 cm. Além disso, podemos observar duas bases de dimensões 2 cm x 3 cm, sendo uma delas feita por um material mais resistente.

Assim, calculando a área do material mais simples $(S_{1})$ e a área do material utilizado na tampa $(S_{2})$ , temos:

$S_{1} = 2 \cdot (2 \cdot 18 + 3 \cdot 18) + 2 \cdot 3 = 186 {cm}^{2} = 186 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0186 m^{2}$

$S_{2} = 2 \cdot 3 = 6 {cm}^{2} = 6 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0006 m^{2}$

Portanto, o custo para produzir uma embalagem é:

$C = 10 \cdot 0, 0186 + 40 \cdot 0, 0006 = R$ 0, 21$

E o custo total atual de 100 unidades é:

$C_{T} = 100 \cdot 0, 21 \Leftrightarrow C_{T} = R$ 21, 00$

b) Observe abaixo a nova embalagem.

Como a embalagem antiga e a atual devem ter o mesmo volume, então segue que:

$V_{1} = V_{2} \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot 18 = x \cdot x \cdot 12 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 18 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3 cm$

Deste modo, as dimensões da nova embalagem são $3 cm × 3 cm × 12 cm$ .

Analogamente ao item anterior, calculando as áreas de material mais simples e a área de material da tampa, temos:

$S_{1} = 2 \cdot (3 \cdot 12 + 3 \cdot 12) + 3 \cdot 3 = 153 {cm}^{2} = 153 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0153 m^{2}$ $S_{2} = 3 \cdot 3 = 9 {cm}^{2} = 9 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0009 m^{2}$

Logo, o custo de cada embalagem nova é:

$C = 10 \cdot 0, 0153 + 40 \cdot 0, 0009 = R$ 0, 189$

E o custo total de 100 unidades é:

$C_{T} = 100 \cdot 0, 189 \Leftrightarrow C_{T} = R$ 18, 90$

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Funções Circulares Circunferência

Márcia está fazendo um teste de condicionamento físico e corre numa pista circular de 200m de comprimento no sentido anti-horário. A distância, em metros, entre Márcia e um equipamento eletrônico, localizado na parte externa da pista, foi registrada nos primeiros 60 segundos e está representada na Figura 1 abaixo.

a) Determine a distância entre o ponto de largada e o equipamento eletrônico, bem como o tempo que Márcia demora para completar uma volta.

b) Durante o teste, qual a maior distância possível entre Márcia e o equipamento eletrônico?

Resolução

a) Graficamente tem-se que a largada é dada quando o tempo é zero, e o tempo que Marcia demora para completar uma volta equivale a um período da função, logo, como indicado na figura abaixo, tem-se que na largada a distância ao ponto é $20 m$ e o período é de $24$ segundos.

b) Seja $M$ a posição de Marcia na pista, $E$ a posição do equipamento eletrônico e $P$ o ponto de intersecção do segmento $C E$ com a circunferência, se $M$ ocupa a posição de maior distância ao ponto $E$ , então, pode-se fazer a seguinte representação:

Note que $P$ é o ponto da pista circular mais próximo de $E$ , logo, graficamente, tem-se que $P E = 10 m$

Sabe-se que o comprimento da pista é de $200 m$ , logo:

$2 πr = 200 \Rightarrow 2 r = \frac{200}{π}$

Portanto, a maior distância de $M$ ao ponto $E$ é:

$M E = 2 r + 10 \Rightarrow ME = (\frac{200}{π} + 10) m$

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Fatoração

Heloísa está brincando com uma urna que contém bolinhas azuis, verdes e rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica $x_{0}, x_{1}, x_{2}, . . .$ de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é $x_{0} = 1$ .

A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior:

por 2, se a bolinha sorteada for azul;
por 3, se a bolinha sorteada for verde;
por 5, se a bolinha sorteada for rosa.

A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é

$x_{0} = 1,$
$x_{1} = 5 \cdot x_{0} = 5,$
$x_{2} = 3 \cdot x_{1} = 15,$
$x_{3} = 2 \cdot x_{2} = 30 .$

a) Sabendo que Heloísa obteve a sequência $1$ , $x_{1}$ , $4$ , $20$ , $x_{4}$ , $180$ , calcule $x_{1}$ e $x_{4}$ e complete o quadro abaixo com as cores das bolinhas sorteadas.

1ª bolinha	2ª bolinha	3ª bolinha	4ª bolinha	5ª bolinha
		rosa

b) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo $189$ ? Justifique.

Resolução

a) Como cada sorteio de bolinha da urna resulta em multiplicar o termo anterior da sequência por um dos fatores $2$ , $3$ ou $5$ (de acordo com a cor sorteada) e a sequência exibida apresenta $x_{2} = 4 = 2^{2}$ , só há uma possibilidade para a cor duas primeiras bolinhas sorteadas, que é a cor azul. Nesse caso, temos $x_{1} = 2 \cdot x_{0} = 2$ .

Comparando agora os termos $x_{3} = 20 = 2^{2} \cdot 5$ e $x_{5} = 180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ , observamos que, tanto a 4ª bolinha quanto a 5ª bolinha resultaram na multiplicação do respectivo termo anterior da sequência por um fator $3$ . Desse modo, a 4ª e a 5ª bolinhas sorteadas foram da cor verde.

1ª bolinha	2ª bolinha	3ª bolinha	4ª bolinha	5ª bolinha
azul	azul	rosa	verde	verde

b) Uma vez que o número $189$ , quando fatorado em números primos, equivale a $3^{3} \cdot 7$ , para se obter o número $189$ como um dos termos da sequência seria necessário possuir o $7$ como um dos fatores multiplicativos. Sendo assim, como só ocorrem multiplicações pelos fatores $2$ , $3$ e $5$ , concluímos que é impossível Heloísa obter um termo da sequência igual a $189$ .

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Inversa Função Exponencial Função Logarítmica

Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicações em ecologia, biomatemática, sociologia e ciências políticas. Uma função logística pode ser definida por

$f (x) = \frac{L}{1 + 2^{- k (x - x_{0})}}, x \in ℝ,$

em que $k > 0, L > 0 e x_{0} \in ℝ$ .

a) Seja $f^{- 1}$ a função inversa de $f$ . Determine a expressão e o domínio de $f^{- 1}$ .

b) O gráfico abaixo é de uma função logística com $L = 10$ . Determine os valores de $x_{0} e k$ .

Resolução

a) Seja $y = f (x) = \frac{L}{1 + 2^{- k \cdot (x - x_{0})}}$ , para obtermos a expressão da função inversa, podemos trocar de posição as variáveis x e y. Assim, trocando as variáveis, temos:

$x = \frac{L}{1 + 2^{- k \cdot (y - x_{0})}}$

Isolando $y$ , encontraremos a expressão da função inversa de $f$ . Portanto, temos:

$x = \frac{L}{1 + 2^{- k \cdot (y - x_{0})}} \Leftrightarrow 1 + 2^{- k \cdot (y - x_{0})} = \frac{L}{x} \Leftrightarrow 2^{- k \cdot (y - x_{0})} = \frac{L}{x} - 1$

Utilizando o logaritmo na base 2, tendo em vista que a função logarítmica é a função inversa à exponencial, temos:

$\log_{2} (2^{- k \cdot (y - x_{0})}) = \log_{2} (\frac{L}{x} - 1) \Leftrightarrow - k \cdot (y - x_{0}) = \log_{2} (\frac{L}{x} - 1) \Leftrightarrow$

$k \cdot (y - x_{0}) = - \log_{2} (\frac{L}{x} - 1) \Leftrightarrow y - x_{0} = - \frac{\log_{2} (\frac{L}{x} - 1)}{k} \Leftrightarrow$

$y = x_{0} - \frac{\log_{2} (\frac{L}{x} - 1)}{k} \Leftrightarrow f^{- 1} (x) = x_{0} - \frac{\log_{2} (\frac{L}{x} - 1)}{k}$ .

O domínio de $f^{- 1} (x)$ será dado segundo as condições de existência do logaritmo acima. Assim, lembrando que o logaritmando deve ser sempre positivo, temos:

$\frac{L}{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{L - x}{x} > 0$

Para que um quociente seja positivo, devemos ter numerador e denominador ambos como o mesmo sinal. Assim, segue que:

$\{\begin{array}{l} L - x > 0 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < L \\ x > 0 \end{cases}$

II.

$\{\begin{array}{l} L - x < 0 \\ x < 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > L \\ x < 0 \end{cases}$

Como o enunciado nos diz que L é um número positivo, então a segunda opção não é conveniente, visto que x não pode ser negativo e maior que L ao mesmo tempo. Deste modo, temos:

$Dom (f^{- 1}) = \{x \in ℝ | 0 < x < L\}$

b) Utilizando o gráfico dado no enunciado, podemos selecionar os pontos $(0, 2)$ e $(2, 5)$ para substituirmos na função dada. Observe abaixo:

Assim, dado $f (x) = \frac{10}{1 + 2^{- k \cdot (x - x_{0})}}$ , temos para o ponto $(2, 5)$ :

$5 = \frac{10}{1 + 2^{- k \cdot (2 - x_{0})}} \Leftrightarrow 1 + 2^{- k \cdot (2 - x_{0})} = 2 \Leftrightarrow 2^{- k \cdot (2 - x_{0})} = 1 = 2^{0} \Leftrightarrow$

$- k \cdot (2 - x_{0}) = 0$

Um produto igual a 0 deve ter ao menos um dos fatores igual a 0. Pelo enunciado $k > 0$ , logo,

$2 - x_{0} = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 2$

Analogamente para o ponto $(0, 2)$ , temos:

$2 = \frac{10}{1 + 2^{- k \cdot (0 - x_{0})}} \Leftrightarrow 1 + 2^{- k \cdot (- x_{0})} = 5 \Leftrightarrow 2^{k \cdot x_{0}} = 4 = 2^{2} \Leftrightarrow k \cdot x_{0} = 2$

Substituindo o valor de $x_{0}$ encontrado acima, temos:

$k \cdot x_{0} = 2 \Leftrightarrow k \cdot 2 = 2 \Leftrightarrow k = 1$ .

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

Segundo a Revista Fapesp de maio de 2021, a média trienal de publicações científicas com pelo menos um autor sediado no Brasil passou de 18 mil em 2003-2005 para 64 mil em 2018-2020. O gráfico abaixo apresenta a participação em porcentagem de grandes áreas do conhecimento no total de publicações com pelo menos um autor sediado no Brasil em médias trienais. Como uma publicação pode ser classificada em mais de uma grande área, a soma dos percentuais de participação de cada grande área é maior que 100%.

(Fonte: Adaptado de “Número de publicações científicas cresceu significativamente nas últimas três décadas”. Revista Pesquisa Fapesp 303, maio de 2021, página 11.)

a) Quais foram a porcentagem e a quantidade de publicações da área de Matemática e Ciências da Terra no triênio 2018-2020 com pelo menos um autor sediado no Brasil?

b) Comparando os triênios 2003-2005 e 2018-2020, o número de publicações da área de Engenharia com pelo menos um autor sediado no Brasil aumentou, diminuiu ou permaneceu igual? Justifique.

Resolução

a) No triênio de 2018-2020, $30 %$ das publicações foram da área de Matemática e Ciências da Terra, que equivalem:

$30 % \cdot 64000 = 19200$

Ou seja, $19, 2$ mil publicações.

Portanto, a porcentagem é de 30% que corresponde a 19,2 mil publicações.

b) Na área de Engenharia foram publicadas no triênio de 2003-2005:

$20 % \cdot 18000 = 3600$ , ou seja, $3, 6$ mil publicações.

E no triênio de 2018-2020:

$20 % \cdot 64000 = 12800$ , ou seja, $12, 8$ mil publicações.

Portanto, houve um aumento de $12, 8 - 3, 6 = 9, 2$ mil publicações.

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Inequação com duas variáveis

Seja $K$ a região poligonal, no plano cartesiano, dos pontos $(x, y)$ que satisfazem as inequações

$x \geq 0,$

$y \geq 0,$

$x + y \leq 3,$

$3 x + y \leq 5 .$

A área hachurada da figura abaixo representa a região $K$ no plano cartesiano.

a) Determine as coordenadas do vértice $V$ , indicado na Figura 1, e a área da região $K$ .

b) Determine o maior valor de $2 x + y$ para $(x, y) \in K$ .

Resolução

a) O vértice $V$ corresponde ao ponto de interseção da reta $3 x + y = 5$ com o eixo $x$ . Assim, $y_{V} = 0$ e

$3 x_{V} = 5 \Leftrightarrow x_{V} = \frac{5}{3}$

Logo, $V = (\frac{5}{3}, 0)$ .

Observe que o ponto $(1, 2)$ destacado na Figura 1 é o ponto de interseção das retas $3 x + y = 5$ e $x + y = 3$ . Consequentemente, tal ponto também é um dos vértices da região $K$ . Denotaremos a seguir tal ponto por $P$ .

Dividimos então a região $K$ três partes: um retângulo e dois triângulos retângulos, como na figura a seguir:

A área do triângulo superior é $A_{1} = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2} u.a.$ .

A área do retângulo é $A_{2} = 2 \cdot 1 = 2 u.a.$

A área do triângulo à direita é $A_{3} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 2}{2} = \frac{2}{3} u.a.$

Portanto, a área da região $K$ é

$A_{1} + A_{2} + A_{3} = \frac{1}{2} + 2 + \frac{2}{3} = \frac{19}{6} u.a.$

b) Considere a família de retas $r_{n} : 2 x + y = n$ , com $n \in ℝ$ . Note que para qualquer ponto $(x_{0}, y_{0}) \in r_{n}$ , temos $2 x_{0} + y_{0} = n$ . Sendo assim, procuramos o maior valor $n \in ℝ$ para o qual a reta $r_{n}$ intercepta a região $K$ .

Isolando a variável $y$ na equação da reta $r_{n}$ , obtemos

$y = - 2 x + n$

Para que exista a interseção entre tal reta e a região $K$ , substituímos a expressão de $y$ nas inequações que definem a região $K$ , obtendo:

$x \geq 0$

$- 2 x + n \geq 0$

$x + (- 2 x + n) \leq 3$

$3 x + (- 2 x + n) \leq 5$

Das duas primeiras inequações resulta que

$n \geq 2 x \geq 0 \Leftrightarrow n \geq 0$

Da terceira e da quarta inequações, obtemos:

$\{\begin{cases} n - x \leq 3 \\ n + x \leq 5 \end{cases}$

Somando tais inequações membro a membro, concluímos que

$2 n \leq 8 \Leftrightarrow n \leq 4$

Note então que $n = 4$ é exatamente o valor para o qual o ponto $P (2, 1)$ pertence a $r_{4}$ , pois $2 \cdot 2 + 1 = 4$ .

Portanto, $4$ é o valor máximo para $2 x + y$ com $(x, y) \in K$ .

Observe abaixo uma animação da situação descrita acima: