Questão 1 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Áreas do Prisma

Um fabricante de produtos de beleza está modificando as dimensões da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado 100𝜋olho. Atualmente, as embalagens têm o formato de um paralelepípedo com $18 cm$ de altura e com base retangular de dimensões $2 cm \times 3 cm$ .

São utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral é mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ 40,00 o metro quadrado, pois ele é mais resistente.

a) Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens?

b) Por questões logísticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paralelepípedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumétrica que as embalagens atuais. Quais as dimensões da nova embalagem e o custo de produção de 100 delas, considerando os mesmos materiais para produção?

Resolução

a) Observemos incialmente que devemos supor o paralelepípedo retângulo indicado no enunciado como sendo também reto, de modo a encontrarmos todas as faces laterais também retangulares. Deste modo, segue abaixo uma ilustração da situação descrita no enunciado.

Logo, a área lateral da embalagem é composta por duas faces de dimensões 2 cm x 18 cm e duas faces de dimensões 3 cm x 18 cm. Além disso, podemos observar duas bases de dimensões 2 cm x 3 cm, sendo uma delas feita por um material mais resistente.

Assim, calculando a área do material mais simples $(S_{1})$ e a área do material utilizado na tampa $(S_{2})$ , temos:

$S_{1} = 2 \cdot (2 \cdot 18 + 3 \cdot 18) + 2 \cdot 3 = 186 {cm}^{2} = 186 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0186 m^{2}$

$S_{2} = 2 \cdot 3 = 6 {cm}^{2} = 6 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0006 m^{2}$

Portanto, o custo para produzir uma embalagem é:

$C = 10 \cdot 0, 0186 + 40 \cdot 0, 0006 = R$ 0, 21$

E o custo total atual de 100 unidades é:

$C_{T} = 100 \cdot 0, 21 \Leftrightarrow C_{T} = R$ 21, 00$

b) Observe abaixo a nova embalagem.

Como a embalagem antiga e a atual devem ter o mesmo volume, então segue que:

$V_{1} = V_{2} \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot 18 = x \cdot x \cdot 12 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 18 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3 cm$

Deste modo, as dimensões da nova embalagem são $3 cm × 3 cm × 12 cm$ .

Analogamente ao item anterior, calculando as áreas de material mais simples e a área de material da tampa, temos:

$S_{1} = 2 \cdot (3 \cdot 12 + 3 \cdot 12) + 3 \cdot 3 = 153 {cm}^{2} = 153 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0153 m^{2}$ $S_{2} = 3 \cdot 3 = 9 {cm}^{2} = 9 \cdot {(10^{- 2} m)}^{2} = 0, 0009 m^{2}$

Logo, o custo de cada embalagem nova é:

$C = 10 \cdot 0, 0153 + 40 \cdot 0, 0009 = R$ 0, 189$

E o custo total de 100 unidades é:

$C_{T} = 100 \cdot 0, 189 \Leftrightarrow C_{T} = R$ 18, 90$