Questão 2 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Funções Circulares Circunferência

Márcia está fazendo um teste de condicionamento físico e corre numa pista circular de 200m de comprimento no sentido anti-horário. A distância, em metros, entre Márcia e um equipamento eletrônico, localizado na parte externa da pista, foi registrada nos primeiros 60 segundos e está representada na Figura 1 abaixo.

a) Determine a distância entre o ponto de largada e o equipamento eletrônico, bem como o tempo que Márcia demora para completar uma volta.

b) Durante o teste, qual a maior distância possível entre Márcia e o equipamento eletrônico?

Resolução

a) Graficamente tem-se que a largada é dada quando o tempo é zero, e o tempo que Marcia demora para completar uma volta equivale a um período da função, logo, como indicado na figura abaixo, tem-se que na largada a distância ao ponto é $20 m$ e o período é de $24$ segundos.

b) Seja $M$ a posição de Marcia na pista, $E$ a posição do equipamento eletrônico e $P$ o ponto de intersecção do segmento $C E$ com a circunferência, se $M$ ocupa a posição de maior distância ao ponto $E$ , então, pode-se fazer a seguinte representação:

Note que $P$ é o ponto da pista circular mais próximo de $E$ , logo, graficamente, tem-se que $P E = 10 m$

Sabe-se que o comprimento da pista é de $200 m$ , logo:

$2 πr = 200 \Rightarrow 2 r = \frac{200}{π}$

Portanto, a maior distância de $M$ ao ponto $E$ é:

$M E = 2 r + 10 \Rightarrow ME = (\frac{200}{π} + 10) m$