Questão 3 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Fatoração

Heloísa está brincando com uma urna que contém bolinhas azuis, verdes e rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica $x_{0}, x_{1}, x_{2}, . . .$ de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é $x_{0} = 1$ .

A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior:

por 2, se a bolinha sorteada for azul;
por 3, se a bolinha sorteada for verde;
por 5, se a bolinha sorteada for rosa.

A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é

$x_{0} = 1,$
$x_{1} = 5 \cdot x_{0} = 5,$
$x_{2} = 3 \cdot x_{1} = 15,$
$x_{3} = 2 \cdot x_{2} = 30 .$

a) Sabendo que Heloísa obteve a sequência $1$ , $x_{1}$ , $4$ , $20$ , $x_{4}$ , $180$ , calcule $x_{1}$ e $x_{4}$ e complete o quadro abaixo com as cores das bolinhas sorteadas.

1ª bolinha	2ª bolinha	3ª bolinha	4ª bolinha	5ª bolinha
		rosa

b) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo $189$ ? Justifique.

Resolução

a) Como cada sorteio de bolinha da urna resulta em multiplicar o termo anterior da sequência por um dos fatores $2$ , $3$ ou $5$ (de acordo com a cor sorteada) e a sequência exibida apresenta $x_{2} = 4 = 2^{2}$ , só há uma possibilidade para a cor duas primeiras bolinhas sorteadas, que é a cor azul. Nesse caso, temos $x_{1} = 2 \cdot x_{0} = 2$ .

Comparando agora os termos $x_{3} = 20 = 2^{2} \cdot 5$ e $x_{5} = 180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ , observamos que, tanto a 4ª bolinha quanto a 5ª bolinha resultaram na multiplicação do respectivo termo anterior da sequência por um fator $3$ . Desse modo, a 4ª e a 5ª bolinhas sorteadas foram da cor verde.

1ª bolinha	2ª bolinha	3ª bolinha	4ª bolinha	5ª bolinha
azul	azul	rosa	verde	verde

b) Uma vez que o número $189$ , quando fatorado em números primos, equivale a $3^{3} \cdot 7$ , para se obter o número $189$ como um dos termos da sequência seria necessário possuir o $7$ como um dos fatores multiplicativos. Sendo assim, como só ocorrem multiplicações pelos fatores $2$ , $3$ e $5$ , concluímos que é impossível Heloísa obter um termo da sequência igual a $189$ .