Questão 4 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Função Inversa Função Exponencial Função Logarítmica

Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicações em ecologia, biomatemática, sociologia e ciências políticas. Uma função logística pode ser definida por

$f (x) = \frac{L}{1 + 2^{- k (x - x_{0})}}, x \in ℝ,$

em que $k > 0, L > 0 e x_{0} \in ℝ$ .

a) Seja $f^{- 1}$ a função inversa de $f$ . Determine a expressão e o domínio de $f^{- 1}$ .

b) O gráfico abaixo é de uma função logística com $L = 10$ . Determine os valores de $x_{0} e k$ .

Resolução

a) Seja $y = f (x) = \frac{L}{1 + 2^{- k \cdot (x - x_{0})}}$ , para obtermos a expressão da função inversa, podemos trocar de posição as variáveis x e y. Assim, trocando as variáveis, temos:

$x = \frac{L}{1 + 2^{- k \cdot (y - x_{0})}}$

Isolando $y$ , encontraremos a expressão da função inversa de $f$ . Portanto, temos:

$x = \frac{L}{1 + 2^{- k \cdot (y - x_{0})}} \Leftrightarrow 1 + 2^{- k \cdot (y - x_{0})} = \frac{L}{x} \Leftrightarrow 2^{- k \cdot (y - x_{0})} = \frac{L}{x} - 1$

Utilizando o logaritmo na base 2, tendo em vista que a função logarítmica é a função inversa à exponencial, temos:

$\log_{2} (2^{- k \cdot (y - x_{0})}) = \log_{2} (\frac{L}{x} - 1) \Leftrightarrow - k \cdot (y - x_{0}) = \log_{2} (\frac{L}{x} - 1) \Leftrightarrow$

$k \cdot (y - x_{0}) = - \log_{2} (\frac{L}{x} - 1) \Leftrightarrow y - x_{0} = - \frac{\log_{2} (\frac{L}{x} - 1)}{k} \Leftrightarrow$

$y = x_{0} - \frac{\log_{2} (\frac{L}{x} - 1)}{k} \Leftrightarrow f^{- 1} (x) = x_{0} - \frac{\log_{2} (\frac{L}{x} - 1)}{k}$ .

O domínio de $f^{- 1} (x)$ será dado segundo as condições de existência do logaritmo acima. Assim, lembrando que o logaritmando deve ser sempre positivo, temos:

$\frac{L}{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{L - x}{x} > 0$

Para que um quociente seja positivo, devemos ter numerador e denominador ambos como o mesmo sinal. Assim, segue que:

$\{\begin{array}{l} L - x > 0 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < L \\ x > 0 \end{cases}$

II.

$\{\begin{array}{l} L - x < 0 \\ x < 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > L \\ x < 0 \end{cases}$

Como o enunciado nos diz que L é um número positivo, então a segunda opção não é conveniente, visto que x não pode ser negativo e maior que L ao mesmo tempo. Deste modo, temos:

$Dom (f^{- 1}) = \{x \in ℝ | 0 < x < L\}$

b) Utilizando o gráfico dado no enunciado, podemos selecionar os pontos $(0, 2)$ e $(2, 5)$ para substituirmos na função dada. Observe abaixo:

Assim, dado $f (x) = \frac{10}{1 + 2^{- k \cdot (x - x_{0})}}$ , temos para o ponto $(2, 5)$ :

$5 = \frac{10}{1 + 2^{- k \cdot (2 - x_{0})}} \Leftrightarrow 1 + 2^{- k \cdot (2 - x_{0})} = 2 \Leftrightarrow 2^{- k \cdot (2 - x_{0})} = 1 = 2^{0} \Leftrightarrow$

$- k \cdot (2 - x_{0}) = 0$

Um produto igual a 0 deve ter ao menos um dos fatores igual a 0. Pelo enunciado $k > 0$ , logo,

$2 - x_{0} = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 2$

Analogamente para o ponto $(0, 2)$ , temos:

$2 = \frac{10}{1 + 2^{- k \cdot (0 - x_{0})}} \Leftrightarrow 1 + 2^{- k \cdot (- x_{0})} = 5 \Leftrightarrow 2^{k \cdot x_{0}} = 4 = 2^{2} \Leftrightarrow k \cdot x_{0} = 2$

Substituindo o valor de $x_{0}$ encontrado acima, temos:

$k \cdot x_{0} = 2 \Leftrightarrow k \cdot 2 = 2 \Leftrightarrow k = 1$ .