Questão 6 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Inequação com duas variáveis

Seja $K$ a região poligonal, no plano cartesiano, dos pontos $(x, y)$ que satisfazem as inequações

$x \geq 0,$

$y \geq 0,$

$x + y \leq 3,$

$3 x + y \leq 5 .$

A área hachurada da figura abaixo representa a região $K$ no plano cartesiano.

a) Determine as coordenadas do vértice $V$ , indicado na Figura 1, e a área da região $K$ .

b) Determine o maior valor de $2 x + y$ para $(x, y) \in K$ .

Resolução

a) O vértice $V$ corresponde ao ponto de interseção da reta $3 x + y = 5$ com o eixo $x$ . Assim, $y_{V} = 0$ e

$3 x_{V} = 5 \Leftrightarrow x_{V} = \frac{5}{3}$

Logo, $V = (\frac{5}{3}, 0)$ .

Observe que o ponto $(1, 2)$ destacado na Figura 1 é o ponto de interseção das retas $3 x + y = 5$ e $x + y = 3$ . Consequentemente, tal ponto também é um dos vértices da região $K$ . Denotaremos a seguir tal ponto por $P$ .

Dividimos então a região $K$ três partes: um retângulo e dois triângulos retângulos, como na figura a seguir:

A área do triângulo superior é $A_{1} = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2} u.a.$ .

A área do retângulo é $A_{2} = 2 \cdot 1 = 2 u.a.$

A área do triângulo à direita é $A_{3} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 2}{2} = \frac{2}{3} u.a.$

Portanto, a área da região $K$ é

$A_{1} + A_{2} + A_{3} = \frac{1}{2} + 2 + \frac{2}{3} = \frac{19}{6} u.a.$

b) Considere a família de retas $r_{n} : 2 x + y = n$ , com $n \in ℝ$ . Note que para qualquer ponto $(x_{0}, y_{0}) \in r_{n}$ , temos $2 x_{0} + y_{0} = n$ . Sendo assim, procuramos o maior valor $n \in ℝ$ para o qual a reta $r_{n}$ intercepta a região $K$ .

Isolando a variável $y$ na equação da reta $r_{n}$ , obtemos

$y = - 2 x + n$

Para que exista a interseção entre tal reta e a região $K$ , substituímos a expressão de $y$ nas inequações que definem a região $K$ , obtendo:

$x \geq 0$

$- 2 x + n \geq 0$

$x + (- 2 x + n) \leq 3$

$3 x + (- 2 x + n) \leq 5$

Das duas primeiras inequações resulta que

$n \geq 2 x \geq 0 \Leftrightarrow n \geq 0$

Da terceira e da quarta inequações, obtemos:

$\{\begin{cases} n - x \leq 3 \\ n + x \leq 5 \end{cases}$

Somando tais inequações membro a membro, concluímos que

$2 n \leq 8 \Leftrightarrow n \leq 4$

Note então que $n = 4$ é exatamente o valor para o qual o ponto $P (2, 1)$ pertence a $r_{4}$ , pois $2 \cdot 2 + 1 = 4$ .

Portanto, $4$ é o valor máximo para $2 x + y$ com $(x, y) \in K$ .

Observe abaixo uma animação da situação descrita acima: