Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Dois tipos de exames para a detecção de certo vírus foram aplicados em um grupo de 80 pacientes, dos quais, com certeza, 60 são portadores desse vírus e 20 não são. Os resultados dos exames estão organizados nas tabelas abaixo.

EXAME 1	PORTADOR	NÃO PORTADOR	TOTAL
RESULTADO POSITIVO	42	06	48
RESULTADO NEGATIVO	18	14	32

EXAME 2	PORTADOR	NÃO PORTADOR	TOTAL
RESULTADO POSITIVO	56	07	63
RESULTADO NEGATIVO	04	13	17

Note que em cada exame ocorrem tanto falsos positivos (pacientes não portadores do vírus com resultado positivo no exame) quanto falsos negativos (pacientes portadores do vírus com resultado negativo no exame).
a) Calcule a porcentagem de pacientes portadores do vírus no grupo em estudo.
b) Considerando os resultados positivos em cada exame, qual dos dois exames tem a menor porcentagem de falsos positivos? Justifique sua resposta.

Resolução

a) O número total de pacientes é 80, dos quais, 60 são portadores do vírus, logo:

$\frac{Pacientes com vírus}{Total de pacientes} = \frac{60}{80} = \frac{3}{4} = 0, 75 = 75 %$

b) Calculando a porcentagem de falso positivo, em relação aos resultados positivos, de cada exame:

Exame 1:

$E_{1} = \frac{Falso positivo}{Resultados positivos} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8} = 0, 125 = 12, 5 %$

Exame 2:

$E_{2} = \frac{Falso positivo}{Resultados positivos} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} = 0, 111 . . . ≅ 11, 1 %$

Como $E_{2} < E_{1}$ , o exame 2 tem a menor porcentagem de falso positivo.

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Área do Triangulo Circunferência Relação Fundamental da Trigonometria

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento $a = 5 cm$ e um dos ângulos internos igual a $θ$ , em que $\cos θ = \frac{3}{5}$ .

a) Calcule a área desse triângulo.
b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Resolução

Vamos denominar os vértices do triângulo conforme a figura a seguir:

a) Da relação fundamental da Trigonometria, temos que:

${sen}^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 \Leftrightarrow {sen}^{2} θ = 1 - {(\frac{3}{5})}^{2} \Leftrightarrow {sen}^{2} θ = \frac{16}{25} \Leftrightarrow sen θ = \pm \frac{4}{5}$

Como $0 ° < θ < 180 °$ , descartamos a opção negativa, e ficamos com:

$sen θ = \frac{4}{5}$

Assim, a área do triângulo pode ser calculada por:

$A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C \cdot sen θ}{2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5}}{2} \Leftrightarrow A_{A B C} = 10 {cm}^{2}$

b) Pelo teorema dos cossenos, segue que:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot \cos θ} \Leftrightarrow$

$B C = \sqrt{5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} cm$

Sendo $R$ a medida do raio da circunferência circunscrita, do teorema dos senos, vem que:

$\frac{B C}{sen θ} = 2 R \Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{5}}{\frac{4}{5}} = 2 R \Leftrightarrow R = \frac{5 \sqrt{5}}{4} cm$

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Multiplicação de Matrizes Progressão Aritmética Sistemas Lineares

Seja a matriz de ordem $2 \times 3$ , dada por $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$ .
a) Seja $C$ a matriz de ordem $3 \times 2$ , cujos elementos são dados por $c_{i j} = (- 1)^{i + j}$ , para $i = 1, 2, 3$ e $j = 1, 2$ . Determine o produto $A C$ .
b) Determine a solução do sistema linear $A [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}]$ , nas variáveis reais $x$ , $y$ e $z$ , em que $(x, y, z)$ é uma progressão aritmérica.

Resolução

a) A matriz $C$ é dada por:

$C = [\begin{matrix} {(- 1)}^{1 + 1} & {(- 1)}^{1 + 2} \\ {(- 1)}^{2 + 1} & {(- 1)}^{2 + 2} \\ {(- 1)}^{3 + 1} & {(- 1)}^{3 + 2} \end{matrix}] = [\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Assim, o produto $A \cdot C$ é dado por:

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}] \Leftrightarrow$

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 & 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) \end{matrix}] \Leftrightarrow$

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{matrix}]$

b) O sistema linear em questão tem a forma:

$A \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}] \Leftrightarrow [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}] \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2 y + 3 z = 6 \end{cases}$

Sendo $(x, y, z)$ uma progressão aritmética de razão $r$ , temos que:

$\{\begin{cases} x = y - r \\ z = y + r \end{cases}$

Assim, substituindo no sistema:

$\{\begin{cases} (y - r) + y + (y + r) = 6 \\ (y - r) + 2 y + 3 (y + r) = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y = 6 \\ 6 y + 2 r = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ r = - 3 \end{cases}$

Portanto:

$\{\begin{cases} x = y - r = 2 - (- 3) = 5 \\ z = y + r = 2 + (- 3) = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow V = \{(5, 2, - 1)\}$

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Radiciação Alinhamento (G.A.) Distância entre Pontos

A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o gráfico de $y = \sqrt{x}$ para 𝑥 $\geq$ 0, em que os pontos 𝐴 e 𝐵 têm abscissas $x_{a}$ = 𝑎 > 0 e $x_{B} = b > a$ , e 𝑂 é a origem do sistema de coordenadas.

a) Prove que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 $= (- \sqrt{a b}, 0)$ são colineares.
b) Para 𝑏 = 3, determine o valor de 𝑎 para o qual a distância da origem ao ponto 𝐴 é igual à distância do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵.

Resolução

a) Lembramos que três pontos $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ e $C = (x_{C}, y_{C})$ no plano cartesiano são colineares se e somente se:

$|\begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix}| = 0$

Como os pontos $A$ e $B$ pertencem ao gráfico da função descrita por $y = \sqrt{x}$ , segue que:

$\{\begin{cases} y_{A} = \sqrt{x_{A}} = \sqrt{a} \\ y_{B} = \sqrt{x_{B}} = \sqrt{b} \end{cases}$

Assim, para os três pontos em questão, temos:

$|\begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix}| = |\begin{matrix} a & \sqrt{a} & 1 \\ b & \sqrt{b} & 1 \\ - \sqrt{a b} & 0 & 1 \end{matrix}| = a \sqrt{b} - \sqrt{a} \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{a b} - b \sqrt{a}$

Agora, sendo $a > 0$ e $b > 0$ , observe que:

$\{\begin{cases} \sqrt{a} \sqrt{a b} = \sqrt{a^{2} \cdot b} = a \sqrt{b} \\ \sqrt{b} \sqrt{a b} = \sqrt{a \cdot b^{2}} = b \sqrt{a} \end{cases}$

Assim, nosso determinante fica:

$|\begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix}| = a \sqrt{b} - a \sqrt{b} + b \sqrt{a} - b \sqrt{a} = 0$

Como o determinante é zero, segue que os pontos são colineares.

b) Temos que:

$O A = A B \Leftrightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{O})}^{2} + {(y_{A} - y_{O})}^{2}} = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado e substituindo as coordenadas, vem que:

${(x_{A} - x_{O})}^{2} + {(y_{A} - y_{O})}^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} \Leftrightarrow$

${(a - 0)}^{2} + {(\sqrt{a} - 0)}^{2} = {(3 - a)}^{2} + {(\sqrt{3} - \sqrt{a})}^{2} \Leftrightarrow$

$a^{2} + a = 9 - 6 a + a^{2} + 3 - 2 \sqrt{3 a} + a \Leftrightarrow$

$6 a + 2 \sqrt{3 a} - 12 = 0 \Leftrightarrow 3 a + \sqrt{3 a} - 6 = 0$

Fazendo uma troca de variáives da forma $\sqrt{3 a} = t$ , segue que:

$t^{2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 3 ou t = 2$

Desfazendo a troca:

$\sqrt{3 a} = - 3 ou \sqrt{3 a} = 2$

Como raiz de índice par não retorna resultado negativo em $ℝ$ , descartamos a opção $\sqrt{3 a} = - 3$ e ficamos com:

$\sqrt{3 a} = 2 \Leftrightarrow 3 a = 2^{2} \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações Trigonométricas Funções Circulares

Seja a função $f (x) = \frac{2 + sen x}{2 + \cos x}$ , definida para todo número real x.

a) Mostre que $f (\frac{π}{2}) + f (\frac{- π}{2}) = f (π) f (\frac{π}{4})$ .

b) Seja $θ$ um número real tal que $f (θ) = 2$ . Determine os possíveis valores para $sen θ$ .

Resolução

a) Primeiramente vamos determinar as imagens:

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 + sen (\frac{π}{2})}{2 + \cos (\frac{π}{2})} = \frac{2 + 1}{2 + 0} = \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{2 + sen (- \frac{π}{2})}{2 + \cos (- \frac{π}{2})} = \frac{2 - 1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$ .

$f (π) = \frac{2 + sen (π)}{2 + \cos (π)} = \frac{2 + 0}{2 + (- 1)} = \frac{2}{1} = 2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 + sen (\frac{π}{4})}{2 + \cos (\frac{π}{4})} = \frac{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$ .

Substituindo em cada lado da equação separadamente:

$f (\frac{π}{2}) + f (- \frac{π}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$f (π) \cdot f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$

Portanto, $f (\frac{π}{2}) + f (- \frac{π}{2}) = f (π) \cdot f (\frac{π}{4})$

b) Partindo da igualdade $f (θ) = 2$ , temos:

$\frac{2 + sen θ}{2 + \cos θ} = 2 \Rightarrow$

$2 + sen θ = 4 + 2 \cdot \cos θ \Rightarrow$

$sen θ - 2 = 2 \cdot \cos θ$

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

${(sen θ - 2)}^{2} = {(2 \cdot \cos θ)}^{2} \Rightarrow$

${sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ + 4 = 4 \cdot \cos^{2} θ \Rightarrow$

${sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ + 4 = 4 \cdot (1 - {sen}^{2} θ) \Rightarrow$

${sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ + 4 = 4 - 4 \cdot {sen}^{2} θ \Rightarrow$

$5 \cdot {sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ = 0 \Rightarrow$

$sen θ \cdot (5 \cdot sen θ - 4) = 0 \Rightarrow sen θ = 0 o u 5 sen θ - 4 = 0 \Rightarrow sen θ = \frac{4}{5}$

Portanto, os possíveis valores são $sen θ = 0$ ou $sen θ = \frac{4}{5}$ .

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Pirâmides Paralelepípedo

A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐.

a) Determine o número de vértices e de arestas desse poliedro.
b) Para 𝑎 = 13 𝑐𝑚, 𝑏 = 16 𝑐𝑚 e 𝑐 = 10 𝑐𝑚, calcule o volume desse poliedro.

Resolução

a) Reconstruindo a figura planificada, temos o seguinte sólido:

Nomeando os vértices ${A, B, C, D, E, F, G, H, I}$ , logo, 9 vértices.

Note que, o sólido é composto por um paralelepípedo $A B C D E F G H$ , que possui 12 arestas, e por uma pirâmide de base quadrada $E F G H I$ , que possui 8 arestas, das quais 4 estão presentes tanto na pirâmide quanto no paralelepípedo, logo, o sólido possui $12 + 8 - 4 = 16$ arestas.

b) Pelos dados do enunciado, temos a seguinte figura:

Como descrito no item anterior, o sólido é formado por um paralelepípedo retângulo de altura $b = 16 c m$ e por uma pirâmide regular, ambos de base quadrada com lado medindo $c = 10 c m$ .
Vamos determinar a altura $h$ da pirâmide. Note que, são dadas a medida do apótema da pirâmide, $a = 13 c m$ , e a medida do lado da base quadrada, então, o apótema da base mede $\frac{10}{2} = 5 c m$ . Assim, podemos determinar a altura da pirâmide aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ilustrado na figura:

$h^{2} + 5^{2} = 13^{2} \Leftrightarrow h^{2} = 169 - 25 \Leftrightarrow h^{2} = 144 \Rightarrow h = 12 c m$

Logo, o volume do sólido é dado por:

$V_{T o t a l} = V_{P a r a l e l e p í p e d o} + V_{P i r â m i d e} \Rightarrow$

$V_{T o t a l} = 10^{2} \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot 10^{2} \cdot 12 = 1600 + 400 = 2000 c m^{3}$