Questão 2 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Área do Triangulo Circunferência Relação Fundamental da Trigonometria

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento $a = 5 cm$ e um dos ângulos internos igual a $θ$ , em que $\cos θ = \frac{3}{5}$ .

a) Calcule a área desse triângulo.
b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Resolução

Vamos denominar os vértices do triângulo conforme a figura a seguir:

a) Da relação fundamental da Trigonometria, temos que:

${sen}^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 \Leftrightarrow {sen}^{2} θ = 1 - {(\frac{3}{5})}^{2} \Leftrightarrow {sen}^{2} θ = \frac{16}{25} \Leftrightarrow sen θ = \pm \frac{4}{5}$

Como $0 ° < θ < 180 °$ , descartamos a opção negativa, e ficamos com:

$sen θ = \frac{4}{5}$

Assim, a área do triângulo pode ser calculada por:

$A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C \cdot sen θ}{2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5}}{2} \Leftrightarrow A_{A B C} = 10 {cm}^{2}$

b) Pelo teorema dos cossenos, segue que:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot \cos θ} \Leftrightarrow$

$B C = \sqrt{5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} cm$

Sendo $R$ a medida do raio da circunferência circunscrita, do teorema dos senos, vem que:

$\frac{B C}{sen θ} = 2 R \Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{5}}{\frac{4}{5}} = 2 R \Leftrightarrow R = \frac{5 \sqrt{5}}{4} cm$