Questão 4 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Radiciação Alinhamento (G.A.) Distância entre Pontos

A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o gráfico de $y = \sqrt{x}$ para 𝑥 $\geq$ 0, em que os pontos 𝐴 e 𝐵 têm abscissas $x_{a}$ = 𝑎 > 0 e $x_{B} = b > a$ , e 𝑂 é a origem do sistema de coordenadas.

a) Prove que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 $= (- \sqrt{a b}, 0)$ são colineares.
b) Para 𝑏 = 3, determine o valor de 𝑎 para o qual a distância da origem ao ponto 𝐴 é igual à distância do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵.

Resolução

a) Lembramos que três pontos $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ e $C = (x_{C}, y_{C})$ no plano cartesiano são colineares se e somente se:

$|\begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix}| = 0$

Como os pontos $A$ e $B$ pertencem ao gráfico da função descrita por $y = \sqrt{x}$ , segue que:

$\{\begin{cases} y_{A} = \sqrt{x_{A}} = \sqrt{a} \\ y_{B} = \sqrt{x_{B}} = \sqrt{b} \end{cases}$

Assim, para os três pontos em questão, temos:

$|\begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix}| = |\begin{matrix} a & \sqrt{a} & 1 \\ b & \sqrt{b} & 1 \\ - \sqrt{a b} & 0 & 1 \end{matrix}| = a \sqrt{b} - \sqrt{a} \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{a b} - b \sqrt{a}$

Agora, sendo $a > 0$ e $b > 0$ , observe que:

$\{\begin{cases} \sqrt{a} \sqrt{a b} = \sqrt{a^{2} \cdot b} = a \sqrt{b} \\ \sqrt{b} \sqrt{a b} = \sqrt{a \cdot b^{2}} = b \sqrt{a} \end{cases}$

Assim, nosso determinante fica:

$|\begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix}| = a \sqrt{b} - a \sqrt{b} + b \sqrt{a} - b \sqrt{a} = 0$

Como o determinante é zero, segue que os pontos são colineares.

b) Temos que:

$O A = A B \Leftrightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{O})}^{2} + {(y_{A} - y_{O})}^{2}} = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado e substituindo as coordenadas, vem que:

${(x_{A} - x_{O})}^{2} + {(y_{A} - y_{O})}^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} \Leftrightarrow$

${(a - 0)}^{2} + {(\sqrt{a} - 0)}^{2} = {(3 - a)}^{2} + {(\sqrt{3} - \sqrt{a})}^{2} \Leftrightarrow$

$a^{2} + a = 9 - 6 a + a^{2} + 3 - 2 \sqrt{3 a} + a \Leftrightarrow$

$6 a + 2 \sqrt{3 a} - 12 = 0 \Leftrightarrow 3 a + \sqrt{3 a} - 6 = 0$

Fazendo uma troca de variáives da forma $\sqrt{3 a} = t$ , segue que:

$t^{2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 3 ou t = 2$

Desfazendo a troca:

$\sqrt{3 a} = - 3 ou \sqrt{3 a} = 2$

Como raiz de índice par não retorna resultado negativo em $ℝ$ , descartamos a opção $\sqrt{3 a} = - 3$ e ficamos com:

$\sqrt{3 a} = 2 \Leftrightarrow 3 a = 2^{2} \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$