Questão 3 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Multiplicação de Matrizes Progressão Aritmética Sistemas Lineares

Seja a matriz de ordem $2 \times 3$ , dada por $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$ .
a) Seja $C$ a matriz de ordem $3 \times 2$ , cujos elementos são dados por $c_{i j} = (- 1)^{i + j}$ , para $i = 1, 2, 3$ e $j = 1, 2$ . Determine o produto $A C$ .
b) Determine a solução do sistema linear $A [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}]$ , nas variáveis reais $x$ , $y$ e $z$ , em que $(x, y, z)$ é uma progressão aritmérica.

Resolução

a) A matriz $C$ é dada por:

$C = [\begin{matrix} {(- 1)}^{1 + 1} & {(- 1)}^{1 + 2} \\ {(- 1)}^{2 + 1} & {(- 1)}^{2 + 2} \\ {(- 1)}^{3 + 1} & {(- 1)}^{3 + 2} \end{matrix}] = [\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Assim, o produto $A \cdot C$ é dado por:

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}] \Leftrightarrow$

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 & 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) \end{matrix}] \Leftrightarrow$

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{matrix}]$

b) O sistema linear em questão tem a forma:

$A \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}] \Leftrightarrow [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}] \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2 y + 3 z = 6 \end{cases}$

Sendo $(x, y, z)$ uma progressão aritmética de razão $r$ , temos que:

$\{\begin{cases} x = y - r \\ z = y + r \end{cases}$

Assim, substituindo no sistema:

$\{\begin{cases} (y - r) + y + (y + r) = 6 \\ (y - r) + 2 y + 3 (y + r) = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y = 6 \\ 6 y + 2 r = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ r = - 3 \end{cases}$

Portanto:

$\{\begin{cases} x = y - r = 2 - (- 3) = 5 \\ z = y + r = 2 + (- 3) = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow V = \{(5, 2, - 1)\}$