Questão 5 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Equações Trigonométricas Funções Circulares

Seja a função $f (x) = \frac{2 + sen x}{2 + \cos x}$ , definida para todo número real x.

a) Mostre que $f (\frac{π}{2}) + f (\frac{- π}{2}) = f (π) f (\frac{π}{4})$ .

b) Seja $θ$ um número real tal que $f (θ) = 2$ . Determine os possíveis valores para $sen θ$ .

Resolução

a) Primeiramente vamos determinar as imagens:

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 + sen (\frac{π}{2})}{2 + \cos (\frac{π}{2})} = \frac{2 + 1}{2 + 0} = \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{2 + sen (- \frac{π}{2})}{2 + \cos (- \frac{π}{2})} = \frac{2 - 1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$ .

$f (π) = \frac{2 + sen (π)}{2 + \cos (π)} = \frac{2 + 0}{2 + (- 1)} = \frac{2}{1} = 2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 + sen (\frac{π}{4})}{2 + \cos (\frac{π}{4})} = \frac{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$ .

Substituindo em cada lado da equação separadamente:

$f (\frac{π}{2}) + f (- \frac{π}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$f (π) \cdot f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$

Portanto, $f (\frac{π}{2}) + f (- \frac{π}{2}) = f (π) \cdot f (\frac{π}{4})$

b) Partindo da igualdade $f (θ) = 2$ , temos:

$\frac{2 + sen θ}{2 + \cos θ} = 2 \Rightarrow$

$2 + sen θ = 4 + 2 \cdot \cos θ \Rightarrow$

$sen θ - 2 = 2 \cdot \cos θ$

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

${(sen θ - 2)}^{2} = {(2 \cdot \cos θ)}^{2} \Rightarrow$

${sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ + 4 = 4 \cdot \cos^{2} θ \Rightarrow$

${sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ + 4 = 4 \cdot (1 - {sen}^{2} θ) \Rightarrow$

${sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ + 4 = 4 - 4 \cdot {sen}^{2} θ \Rightarrow$

$5 \cdot {sen}^{2} θ - 4 \cdot sen θ = 0 \Rightarrow$

$sen θ \cdot (5 \cdot sen θ - 4) = 0 \Rightarrow sen θ = 0 o u 5 sen θ - 4 = 0 \Rightarrow sen θ = \frac{4}{5}$

Portanto, os possíveis valores são $sen θ = 0$ ou $sen θ = \frac{4}{5}$ .