Questão 6 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2

a) Reconstruindo a figura planificada, temos o seguinte sólido:

Nomeando os vértices $\{A,B,C,D,E,F,G,H,I\}$, logo, 9 vértices.

Note que, o sólido é composto por um paralelepípedo $ABCDEFGH$, que possui 12 arestas, e por uma  pirâmide de base quadrada $EFGHI$, que possui 8 arestas, das quais 4 estão presentes tanto na pirâmide quanto no paralelepípedo, logo, o sólido possui $12+8-4=16$ arestas.

b) Pelos dados do enunciado, temos a seguinte figura:

Como descrito no item anterior, o sólido é formado por um paralelepípedo retângulo de altura $b=16 cm$ e por uma pirâmide regular, ambos de base quadrada com lado medindo $c=10 cm$.
Vamos determinar a altura $h$ da pirâmide. Note que, são dadas a medida do apótema da pirâmide, $a=13 cm$, e a medida do lado da base quadrada, então, o apótema da base mede $\frac{10}{2}=5 cm$. Assim, podemos determinar a altura da pirâmide aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ilustrado na figura:

$h^2+5^2={13}^2\iff h^2=169-25\iff h^2=144\Rightarrow h=12 cm$

Logo, o volume do sólido é dado por:

$V_{Total}=V_{Paralelepípedo}+V_{Pirâmide}\Rightarrow$

$V_{Total}={10}^2·16+\frac{1}{3}·{10}^2·12=1600+400=2000 c{m}^3$