Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2

a) Temos que:

• como $t_1=22$ é par: $t_2=\frac{22}{2}=11$;
• como $t_2=11$ é ímpar: $t_3=3·11+1=34$;
• como $t_3=34$ é par: $t_4=\frac{34}{2}=\boxed{17}$.

b) Temos que:

$t_4=10\iff \frac{t_3}{2}=10 \text{ou} 3·t_3+1=10\iff$

$t_3=20 \text{ou} t_3=3\iff$

$\frac{t_2}{2}=20 \text{ou} 3·t_2+1=20 \text{ou} \frac{t_2}{2}=3 \text{ou} 3·t_2+1=3\iff$

$t_2=40 \text{ou} t_2=\frac{19}{3} \text{ou} t_2=6 \text{ou} t_2=\frac{2}{3}$

Entretanto, como o enunciado deixa claro que a sequência deve ser formada apenas por números naturais, ficamos apenas com:

$t_2=40 \text{ou} t_2=6$

Assim, abrindo novamente as opções:

$\frac{t_1}{2}=40 \text{ou} 3·t_1+1=40 \text{ou} \frac{t_1}{2}=6 \text{ou} 3·t_1+1=6\iff$

$t_1=80 \text{ou} t_1=13 \text{ou} t_1=12 \text{ou} t_1=\frac{5}{3}$

Novamente aplicando a restrição de serem apenas números naturais, ficamos com:

$\boxed{t_1=80 \text{ou} t_1=13 \text{ou} t_1=12}$

c) Temos que:

• como $t_1=26$ é par: $t_2=\frac{26}{2}=13$;
• como $t_2=13$ é ímpar: $t_3=3·13+1=40$;
• como $t_3=40$ é par: $t_4=\frac{40}{2}=20$;
• como $t_4=20$ é par: $t_5=\frac{20}{2}=10$;
• como $t_5=10$ é par: $t_6=\frac{10}{2}=5$;
• como $t_6=5$ é ímpar: $t_7=3·5+1=16$;
• como $t_7=16$ é par: $t_8=\frac{16}{2}=8$;
• como $t_8=8$ é par: $t_9=\frac{8}{2}=4$;
• como $t_9=4$ é par: $t_{10}=\frac{4}{2}=2$;
• como $t_{10}=2$ é par: $t_{11}=\frac{2}{2}=1$;
• como $t_{11}=1$ é ímpar: $t_{12}=3·1+1=4$.

Observe o que acontecerá a partir desse termo na sequência. Como $t_{11}=t_8$, a sequência entrará num padrão de periodicidade, com ciclos da forma 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Temos a sequência:

$26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,...$

Para $n⩾9$, temos que:

• $t_n=4$, para $n=9,12,15,18,...$, isto é, para $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ que é múltiplo de 3 (resto 0 na divisão por 3);
• $t_n=2$, para $n=10,13,16,19,...$, isto é, para $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ que deixa resto 1 na divisão por 3;
• $t_n=1$, para $n=11,14,17,20,...$, isto é, para $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ que deixa resto 2 na divisão por 3.

Assim, para determinar $t_{2022}$, fazemos a divisão:

$\begin{array}{c}2022\\ 0\end{array}\overline{)\begin{array}{c}3\\ 674\end{array}}$

Sendo 2022 múltiplo de 3 (também poderíamos utilizar diretamente o critério da divisibilidade por 3, pois $2+0+2+2=6$ é múltiplo de 3), segue que:

$\boxed{t_{2022}=4}$

a) Sabe-se que uma função é dita como crescente quando para quaisquer $a$ e $b$ do domínio, temos que $a<b\Rightarrow f\left(a\right)\le f\left(b\right)$. Daí, concluímos:

Logo, o intervalo é dado por $\left[0, 9\right]$.

Agora, se considerarmos uma função estritamente crescente, para quaisquer $a$ e $b$ do domínio, temos que $a<b\Rightarrow f\left(a\right)<f\left(b\right)$. Daí, concluímos que:

Portanto, os intervalos são: $\left[0, 2\right]$ e $\left[5, 9\right]$.

b) Pelas informações do enunciados, temos que a função f é definida em partes. E, em cada parte, temos:

(1) $-2\le x\le 2$: a lei de formação foi dita no enunciado e, então, $y=f\left(x\right)=x^2$.

(2) $2\le x\le 5$: o gráfico é dado por um segmento de reta paralelo ao eixo x. Logo, concluímos que a lei de formação é dada por $y=f\left(x\right)=4$.

(3) $5\le x\le 9$: o gráfico é dado por um segmento de reta crescente. Daí, temos que a lei de formação é dada por $y=ax+b$. 

Como (5, 4) e (9, 6) pertencem ao gráfico, então:

$\left\{\begin{array}{l}4=a·5+b\\ 6=a·9+b\end{array}\right.\Rightarrow a=\frac{1}{2} e b=\frac{3}{2}$

Daí, a lei de formação é dada por $y=f\left(x\right)=\frac{x+3}{2}$.

Desse modo, concluímos:

$y=f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^2, se -2\le x\le 2\\ 4, se 2\le x\le 5\\ \frac{x+3}{2}, se 5\le x\le 9\end{array}$

Assim, calcularemos os valores numéricos de acordo com o intervalo do domínio:

(1) $f\left(-\frac{3}{2}\right)={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2\Rightarrow \boxed{f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}}$

(2) $\boxed{f\left(\frac{7}{2}\right)=4}$

(3) $f\left(8\right)=\frac{8+3}{2}\Rightarrow \boxed{f\left(8\right)=\frac{11}{2}}$

c) Perceba que, para calcular a área do retângulo, temos a dependência da abscissa do ponto A e, ainda, dependemos da lei de formação da função em determinados intervalos do domínio. Por isso, precisamos separar em situações para determinar a área do retângulo:

(1° caso): $0<x\le 2$ e $f\left(x\right)=x^2$

Os pontos são $A\left(x, 0\right)$, $B\left(9, 0\right)$, $C\left(9, x^2\right)$ e $D\left(x, x^2\right)$. Como a base é dada por $AB=9-x$ e altura é dada por $BC=x^2$, então:

$R_x=\left(9-x\right)·x^2\Rightarrow \boxed{R_x=-x^3+9x^2}$

(2° caso): $2<x\le 5$ e $f\left(x\right)=4$

Os pontos são $A\left(x, 0\right)$, $B\left(9, 0\right)$, $C\left(9, 4\right)$ e $D\left(x, 4\right)$. Como a base é dada por $AB=9-x$ e altura é dada por $BC=4$, então:

$R_x=\left(9-x\right)·4\Rightarrow \boxed{R_x=-4x+36}$

(3° caso): $5<x<9$ e $f\left(x\right)=\frac{x+3}{2}$

Os pontos são $A\left(x, 0\right)$, $B\left(9, 0\right)$, $C\left(9, \frac{x+3}{2}\right)$ e $D\left(x, \frac{x+3}{2}\right)$. Como a base é dada por $AB=9-x$ e altura é dada por $BC=\frac{x+3}{2}$, então:

$R_x=\left(9-x\right)·\left(\frac{x+3}{2}\right)\Rightarrow \boxed{R_x=\frac{-x^2+6x+27}{2}}$

Considere todas as possibilidades:

a)  Perceba que o maior valor do produto $m·n$ é dado por $9·9$ e o menor valor é dado por $3·3$. Desse modo, como números maiores $60$ são mais próximos do maior valor dos produtos, podemos encontrar as seguintes situações:

Portanto, os pares ordenados pedidos são (7,9), (8,8), (8,9), (9,7), (9,8) e (9, 9).

b) Como temos 7 possibilidades para cada coordenada (abscissa ou ordenada), então o espaço amostral é dado por:

$n\left(E\right)=7·7=49$

Sabe-se que o evento é dado por "o ponto $\left(m, n\right)$ se tornar a fração $\frac{m}{n}$ redutível". Lembre-se que para termos uma fração redutível, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tenham pelo menos um fator primo em comum. Isto é: que dê para simplificar a fração.

Analisando todos os casos possíveis, conseguimos encontrar os seguintes pontos:

Desse modo, temos 19 pares ordenados que se tornam frações redutíveis. 

Portanto, a probabilidade pedida é dada por $\boxed{p=\frac{19}{49}}$.

c) Como agora serão sorteados dois pares ordenados (e sabemos, pelo item b, que temos 49 pares no total), então o número de elementos do espaço amostral é dado por:

$n\left(E\right)=C_{49,2}=\frac{49!}{2!·47!}=1176$

Agora, para determinar o evento, podemos considerar dois pontos quaisquer: $A\left(x_1, y_1\right)$ e $B\left(x_2, y_2\right)$ de tal modo que a distância seja $\sqrt{13}$. Veja que:

$d_{A,B}=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}=\sqrt{13}\Rightarrow {\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2=13$

Como as coordenadas são inteiras, perceba que $∆x$ e $∆y$ são inteiros também. As únicas maneiras de obtermos 13 como soma de quadrados de dois números inteiros são quando:

(1) $\left\{\begin{array}{l}∆x=\pm 3\\ ∆y=\pm 2\end{array}\right.:$

(i) possibilidades para $x$: 6 e 3, 7 e 4, 8 e 5, 9 e 6.

(ii) possibilidades para $y$: 5 e 3; 6 e 4; 7 e 5; 8 e 6; 9 e 7.

Portanto, temos a seguinte quantidade de pares ordenados:

$\underset{pares de x}{\underbrace{\underline{ 4 }}}·\underset{pares de y}{\underbrace{\underline{ 5 }}}·\stackrel{criação do par ordenado}{\overbrace{\underline{ 2 }}}=40$

(2) $\left\{\begin{array}{l}∆x=\pm 2\\ ∆y=\pm 3\end{array}\right.:$ é análogo ao caso anterior. Ou seja, totalizamos 40 possibilidades.

Daí, a probabilidade é dada por:

$p=\frac{40+40}{1176}=\frac{80}{1176}=\frac{10}{147}$

Portanto, $\boxed{p=\frac{10}{147}}$

a) Conforme o enunciado, os pontos $A_1, D_3, A_3$ e $B_1$ dividem as arestas $\overline{A_0{D}_0}$ e $\overline{A_0{B}_0}$ em três segmentos de igual medida, então $A_0{A}_1=A_0{A}_3=\frac{1}{3}$ u.m., conforme podemos observar na figura a seguir.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo $A_0{A}_1{A}_3$, temos que:

$x^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$.

Logo, como $x>0$, então $x=\frac{\sqrt{2}}{3}$ u.m.

Ou seja, $A_1{A}_3=B_1{B}_3=C_1{C}_3=D_1{D}_3=\frac{\sqrt{2}}{3}$ u.m.

Portanto o perímetro do octógono $A_1{A}_3{B}_1{B}_3{C}_1{C}_3{D}_1{D}_3$ é 

$4·\frac{\sqrt{2}}{3}+4·\frac{1}{3}=\boxed{\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)}{3} u.m.}$

b) Primeiramente calculamos o volume da pirâmide P. Seu apótema mede $\frac{\sqrt{3}}{2}$  e o apótema da base $\frac{1}{2}$, então para determinar sua altura, fazemos:

${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=h^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$.

Temos $h>0$, então $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$ u.m.

Portanto, o volume da pirâmide P é $V_P=\frac{1}{3}·1^2·\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ u.v.

Para determinar o volume de S, devemos subtrair os volumes das pirâmides $A_0{A}_1{A}_2{A}_3$, $B_0{B}_1{B}_2{B}_3$, $C_0{C}_1{C}_2{C}_3$, $D_0{D}_1{D}_2{D}_3$ e $E_0{E}_1{E}_2{E}_3$.

Seja $V_1$ o volume da pirâmide $A_0{A}_1{A}_2{A}_3$. Assim, temos que:

$$\begin{gathered} V_1=\frac{1}{3}·\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2}·\left(\frac{1}{3}·\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\iff \\ {V}_1=\frac{1}{3}·\frac{1}{18}·\frac{\sqrt{2}}{6}\iff \\ {V}_1=\frac{\sqrt{2}}{324} u.v. \end{gathered}$$

Chamemos por $V_2$ o volume da pirâmide $E_0{E}_1{E}_2{E}_3$. Note que esta é semelhante à pirâmide P, cuja razão de semelhança é $\frac{1}{3}$, então a razão entre seus volumes é ${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$, ou seja:

$$\begin{gathered} V_2=\frac{1}{27}·\frac{\sqrt{2}}{6}\iff \\ {V}_2=\frac{\sqrt{2}}{162} u.v. \end{gathered}$$

Portanto o volume do sólido S pode ser calculado por:

$$\begin{gathered} V_S=V_P-4·V_1-V_2\Rightarrow \\ {V}_S=\frac{\sqrt{2}}{6}-4·\frac{\sqrt{2}}{324}-\frac{\sqrt{2}}{162}\iff \\ \boxed{V_S=\frac{4\sqrt{2}}{27} u.v.} \end{gathered}$$

c) Sejam  $E_0\text{'}$ e $E_2\text{'}$ as projeções ortogonais dos pontos $E_0$ e $E_2$, respectivamente, sobre o plano $\Pi$, como na figura a seguir.

Por semelhança, o segmento $\overline{E_2{E}_2\text{'}}$ mede $\frac{2}{3}$ da altura da pirâmide, ou seja, $E_2{E}_2\text{'}=\frac{2}{3}·\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ u.m.

Observe a figura a seguir.

O segmento $\overline{A_{1}N}$ mede a metade do lado do quadrado, ou seja, $\frac{1}{2} u.m.$ Já o segmento $\overline{E_2\text{'}N}$ mede $\frac{1}{3}$ desta medida, conforme a semelhança entre os triângulos $E_0\text{'}{E}_2\text{'}N$ e $E_0\text{'}{B}_{0}M$, então $E_2\text{'}N=\frac{1}{3}·\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ u.m.

Ou seja, $A_1{E}_2\text{'}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ u.m.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo $A_1{E}_2{E}_2\text{'}$, encontramos:

$$\begin{gathered} {\left(A_1{E}_2\right)}^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^2\iff \\ {\left(A_1{E}_2\right)}^2=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}\iff \\ {\left(A_1{E}_2\right)}^2=\frac{6}{9} \end{gathered}$$

$A_1{E}_2>0$, portanto $\boxed{A_1{E}_2=\frac{\sqrt{6}}{3} u.m.}$

Lembramos que a circunferência de centro $\left(0,3\right)$ e raio 2 tem equação reduzida dada por:

${\left(x-0\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=2^2$

Na forma geral, o que pode ser útil para algumas contas a seguir, temos:

$x^2+y^2-6y+9=4\iff x^2+y^2-6y+5=0$

a) Para $a=-1$, temos o sistema:

$\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+1\\ x^2+{\left(y-3\right)}^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2=1-y\\ x^2+y^2-6y+5=0\end{array}\right.$

Substituindo a primeira equação na segunda, vem que:

$1-y+y^2-6y+5=0\iff y^2-7y+6=0\iff$

$y=1$  ou  $y=6$

Substituindo em $x^2=1-y$, ficamos com:

• para $y=1$: $x^2=1-1=0\iff x=0$;
• para $y=6$: $x^2=1-6=-5$, equação que não tem solução em $\mathrm{ℝ}$.

Assim, para $a=-1$, só há um ponto em comum entre a circunferência e a parábola, que é o ponto $\boxed{\left(0,1\right)}$.

Também é possível chegar a essa conclusão através da análise dos gráficos das duas curvas no plano cartesiano:

Pelo desenho, inclusive, podemos observar algo mais geral: como as parábolas de expressão $y=a{x}^2+1$ têm vértice fixo no ponto $\left(0,1\right)$, qualquer $a<0$ faria o ponto $\left(0,1\right)$ ser o único ponto em comum entre a parábola e a circunferência.

b) Para $a=1$, temos o sistema:

$\left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ x^2+{\left(y-3\right)}^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2=y-1\\ x^2+y^2-6y+5=0\end{array}\right.$

Substituindo a primeira equação na segunda, vem que:

$y-1+y^2-6y+5=0\iff y^2-5y+4=0\iff$

$y=1$  ou  $y=4$

Substituindo em $x^2=y-1$, ficamos com:

• para $y=1$: $x^2=1-1=0\iff x=0$;
• para $y=4$: $x^2=4-1=3\iff x=\pm \sqrt{3}$.

Assim, para $a=1$, a circunferência e a parábola terão 3 pontos em comum: $\left(0,1\right)$, $\left(-\sqrt{3},4\right)$ e $\left(\sqrt{3},4\right)$.

Representando essa situação no plano cartesiano:

c) Vamos analisar o sistema:

 $\left\{\begin{array}{l}y=a·x^2+1\\ x^2+{\left(y-3\right)}^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y-1=a·x^2\\ x^2=2^2-{\left(y-3\right)}^2\end{array}\right.$

Substituindo a segunda equação na primeira, vem que:

$y-1=a·\left[2^2-{\left(y-3\right)}^2\right]$

Observando que o lado direito dessa igualdade admite uma fatoração, já que é uma diferença de quadrados, temos que:

$y-1=a·\left[2+\left(y-3\right)\right]·\left[2-\left(y-3\right)\right]\iff y-1=a·\left(y-1\right)·\left(5-y\right)$

Dessa igualdade, e sendo $a\ne 0$, ficamos com:

$y=1$  ou  $1=a·\left(5-y\right)\iff y=5-\frac{1}{a}$

Para que a a circunferência e a parábola tenham 3 pontos em comum, devemos impor duas coisas:

• $a$ deve ser positivo, pois caso contrário, como já observamos no final do item (a), só haveria um ponto em comum, que seria o ponto $\left(0,1\right)$;
• a ordenada comum dos outros dois pontos de intersecção, dada por $y=5-\frac{1}{a}$ deve ser tal que $1<y<5$. Isso ocorre porque a circunferência não tem pontos com ordenada $y<1$ ou $y>5$. Além disso, tal ordenada também não pode ser 1, pois senão voltaríamos ao caso do ponto $\left(0,1\right)$ como único ponto em comum, e não pode ser 5, pois a parábola não pode ter um segundo ponto sobre o eixo das ordenadas além do ponto $\left(0,1\right)$.

Assim, impomos:

$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ 1<5-\frac{1}{a}<5\end{array}\right.$

Na segunda inequação, podemos multiplicar todos os membros por $a$ mantendo os sinais de inequação, já que $a>0$. Portanto:

$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ a<5a-1<5a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ 1<4a\\ -1<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \frac{1}{4}<a\end{array}\right.\iff \boxed{a>\frac{1}{4}}$

a) Seja $x$ a quantidade de latas E2 e $y$ a quantidade de latas E1. Assim:

$2·x+1·y=200$

Lembre-se que as quantidades são números de contagem, isto é, números naturais. Portanto, para determinar a quantidade de pacotes, precisamos contar quantas soluções inteiras não negativas tem a equação $2x+y=200$. 

Perceba que ao escolher um valor para $x$, imediatamente já encontramos o valor de $y$:

• se $x=0$: $2·0+y=200\Rightarrow y=200$
• se $x=1$: $2·1+y=200\Rightarrow y=198$
•  se $x=2$: $2·2+y=200\Rightarrow y=194$

...

• se $x=100$: $2·100+y=200\Rightarrow y=0$

Daí, encontramos os pares (0, 200), (1, 198), (2, 196), ..., (100, 0). Logo, são 101 possibilidades.

b) Seja $x$ a quantidade de latas E2, $y$ a quantidade de latas E1 e $z$ a quantidade de latas M1. Assim:

$2·x+1·y+1·z=200$

Lembre-se que as quantidades são números de contagem, isto é, números naturais. Portanto, para determinar a quantidade de pacotes, precisamos contar quantas soluções inteiras não negativas tem a equação $2x+y+z=200$. 

Perceba que, agora, ao escolher um valor para $x$, precisaremos escolher os possíveis valores entre $y$ e $z$:

(1) caso $x=0$:  $y+z = 200: \{\begin{array}{c}(0, 200)\\ (1, 199)\\ ...\\ (200, 0)\end{array} \therefore 201 soluções$

(2) caso $x=1$:  $y+z = 198: \{\begin{array}{c}(0, 198)\\ (1, 197)\\ ...\\ (198, 0)\end{array} \therefore 199 soluções$

(3) caso $x=2$:  $y+z = 196: \{\begin{array}{c}(0, 196)\\ (1, 195)\\ ...\\ (196, 0)\end{array} \therefore 197 soluções$

e assim consecutivamente, até chegar em:

(101) caso  $x=100$:  $y+z = 0: \{\left(0,0\right) \therefore 1 solução$

Portanto, a quantidade de soluções é dada por:

$t=201+199+197+...+1$

Isto é, uma soma de P.A. de razão 2 com 101 termos. 

Logo, temos:

$t=201+199+197+...+1=\left(201+1\right)·\frac{101}{2}\Rightarrow \boxed{t=10201 \text{possibilidades}}$

c) Seja $x$ a quantidade de latas E2, $y$ a quantidade de latas M2, $z$ a quantidade de latas E1 e $w$ a quantidade de latas M1. Assim:

$2·x+2·y+1·z+1·w=20$

Lembre-se que as quantidades são números de contagem, isto é, números naturais. Portanto, para determinar a quantidade de pacotes, precisamos contar quantas soluções inteiras não negativas tem a equação $2x+2y+z+w=20$. 

Perceba que, agora, ao escolher um valor para $x$, precisaremos escolher os possíveis valores entre $y$ , $z$ e $w$:

(1° caso): $x=0$

•  $x=0$ e $y=0$ :  $z+w = 20: \{\begin{array}{c}(0, 20)\\ (1, 19)\\ ...\\ (20, 0)\end{array} \therefore 21 soluções$
•  $x=0$ e $y=1$:  $z+w = 18: \{\begin{array}{c}(0, 18)\\ (1, 17)\\ ...\\ (18, 0)\end{array} \therefore 19 soluções$

...

• $x=0$ e $y=10$:  $z+w = 0: \{\left(0, 0\right) \therefore 1 solução$

Do mesmo raciocínio do item b, conseguimos concluir que a quantidade total de soluções é dada por:

$t_1=21+19+...+1=\frac{\left(21+1\right)·11}{2}\Rightarrow t_1=121$

(2° caso): $x=1$

•  $x=1$ e $y=0$ :  $z+w = 18: \{\begin{array}{c}(0, 18)\\ (1, 17)\\ ...\\ (18, 0)\end{array} \therefore 19 soluções$
•  $x=1$ e $y=1$:  $z+w = 16: \{\begin{array}{c}(0, 16)\\ (1, 15)\\ ...\\ (16, 0)\end{array} \therefore 17 soluções$

...

• $x=1$ e $y=9$:  $z+w = 0: \{\left(0, 0\right) \therefore 1 solução$

Do mesmo raciocínio do item b, conseguimos concluir que a quantidade total de soluções é dada por:

$t_2=19+17+...+1=\frac{\left(19+1\right)·10}{2}\Rightarrow t_2=100$

Repetindo esse mesmo procedimento até o 11° caso (em que $x=10$), encontramos a seguinte quantidade de soluções:

$$\begin{gathered} T=t_1+t_2+...+t_{11}= \\ =121+100+81+64+49+36+25+16+9+4+1 \\ =\boxed{506 \text{possibilidades}} \end{gathered}$$