Questão 1 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Sequências

Uma sequência de números naturais é construída da seguinte forma: seu primeiro termo $t_{1}$ é escolhido como sendo um número natural qualquer. Se $t_{1}$ for par, então $t_{2} = \frac{t_{1}}{2}$ e, se $t_{1}$ for ímpar, então $t_{2} = 3 t_{1} + 1$ . Os termos seguintes $t_{n}$ são obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se $t_{1} = 3$ , então $t_{2} = 10$ , $t_{3} = 5$ , $t_{4} = 16$ e assim por diante. Dessa forma, a partir de $t_{1} \in ℕ$ , para cada $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ , a sequência $t_{n}$ é definida como

$t_{n} = \{\begin{cases} \frac{t_{n - 1}}{2}, & se t_{n - 1} for par \\ 3 t_{n - 1} + 1, & se t_{n - 1} for ímpar \end{cases}$

a) Para $t_{1} = 22$ , determine $t_{4}$ .

b) Determine todos os possíveis $t_{1}$ para os quais $t_{4} = 10$ .

c) Para $t_{1} = 26$ , determine $t_{2022}$ .

Resolução

a) Temos que:

como $t_{1} = 22$ é par: $t_{2} = \frac{22}{2} = 11$ ;
como $t_{2} = 11$ é ímpar: $t_{3} = 3 \cdot 11 + 1 = 34$ ;
como $t_{3} = 34$ é par: $t_{4} = \frac{34}{2} = 17$ .

b) Temos que:

$t_{4} = 10 \Leftrightarrow \frac{t_{3}}{2} = 10 ou 3 \cdot t_{3} + 1 = 10 \Leftrightarrow$

$t_{3} = 20 ou t_{3} = 3 \Leftrightarrow$

$\frac{t_{2}}{2} = 20 ou 3 \cdot t_{2} + 1 = 20 ou \frac{t_{2}}{2} = 3 ou 3 \cdot t_{2} + 1 = 3 \Leftrightarrow$

$t_{2} = 40 ou t_{2} = \frac{19}{3} ou t_{2} = 6 ou t_{2} = \frac{2}{3}$

Entretanto, como o enunciado deixa claro que a sequência deve ser formada apenas por números naturais, ficamos apenas com:

$t_{2} = 40 ou t_{2} = 6$

Assim, abrindo novamente as opções:

$\frac{t_{1}}{2} = 40 ou 3 \cdot t_{1} + 1 = 40 ou \frac{t_{1}}{2} = 6 ou 3 \cdot t_{1} + 1 = 6 \Leftrightarrow$

$t_{1} = 80 ou t_{1} = 13 ou t_{1} = 12 ou t_{1} = \frac{5}{3}$

Novamente aplicando a restrição de serem apenas números naturais, ficamos com:

$t_{1} = 80 ou t_{1} = 13 ou t_{1} = 12$

c) Temos que:

como $t_{1} = 26$ é par: $t_{2} = \frac{26}{2} = 13$ ;
como $t_{2} = 13$ é ímpar: $t_{3} = 3 \cdot 13 + 1 = 40$ ;
como $t_{3} = 40$ é par: $t_{4} = \frac{40}{2} = 20$ ;
como $t_{4} = 20$ é par: $t_{5} = \frac{20}{2} = 10$ ;
como $t_{5} = 10$ é par: $t_{6} = \frac{10}{2} = 5$ ;
como $t_{6} = 5$ é ímpar: $t_{7} = 3 \cdot 5 + 1 = 16$ ;
como $t_{7} = 16$ é par: $t_{8} = \frac{16}{2} = 8$ ;
como $t_{8} = 8$ é par: $t_{9} = \frac{8}{2} = 4$ ;
como $t_{9} = 4$ é par: $t_{10} = \frac{4}{2} = 2$ ;
como $t_{10} = 2$ é par: $t_{11} = \frac{2}{2} = 1$ ;
como $t_{11} = 1$ é ímpar: $t_{12} = 3 \cdot 1 + 1 = 4$ .

Observe o que acontecerá a partir desse termo na sequência. Como $t_{11} = t_{8}$ , a sequência entrará num padrão de periodicidade, com ciclos da forma 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Temos a sequência:

$26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . .$

Para $n ⩾ 9$ , temos que:

$t_{n} = 4$ , para $n = 9, 12, 15, 18, . . .$ , isto é, para $n \in ℕ$ que é múltiplo de 3 (resto 0 na divisão por 3);
$t_{n} = 2$ , para $n = 10, 13, 16, 19, . . .$ , isto é, para $n \in ℕ$ que deixa resto 1 na divisão por 3;
$t_{n} = 1$ , para $n = 11, 14, 17, 20, . . .$ , isto é, para $n \in ℕ$ que deixa resto 2 na divisão por 3.

Assim, para determinar $t_{2022}$ , fazemos a divisão:

$\begin{matrix} 2022 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 674 \end{matrix}$

Sendo 2022 múltiplo de 3 (também poderíamos utilizar diretamente o critério da divisibilidade por 3, pois $2 + 0 + 2 + 2 = 6$ é múltiplo de 3), segue que:

$t_{2022} = 4$