Questão 2 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Função Quadrática Função Afim

Uma função 𝑓 está definida no intervalo $[\begin{matrix} - 2, & 9 \end{matrix}]$ da seguinte forma: para $x \in [\begin{matrix} - 2, & 2 \end{matrix}]$ , 𝑓 leva $x$ em $x^{2}$ e, no restante do domínio, o seu gráfico é formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura.

a) Apresente todos os intervalos do domínio da função 𝑓 nos quais ela é crescente.

b) Determine os valores de 𝑓 nos pontos $x = - \frac{3}{2}$ , $x = \frac{7}{2}$ e $x = 8$ .

c) Para cada valor de $x \in] 0, 9 [$ , considere o retângulo $R_{x}$ com vértices nos pontos $A = (\begin{matrix} x, & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 9, & 0 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 9, & f (x) \end{matrix}) e D = (\begin{matrix} x, & f (x) \end{matrix}) .$ Escreva a expressão da área de $R_{x}$ , em função de $x$ , para $x$ no intervalo $] 0, 9 [$ .

Resolução

a) Sabe-se que uma função é dita como crescente quando para quaisquer $a$ e $b$ do domínio, temos que $a < b \Rightarrow f (a) \leq f (b)$ . Daí, concluímos:

Logo, o intervalo é dado por $[0, 9]$ .

Agora, se considerarmos uma função estritamente crescente, para quaisquer $a$ e $b$ do domínio, temos que $a < b \Rightarrow f (a) < f (b)$ . Daí, concluímos que:

Portanto, os intervalos são: $[0, 2]$ e $[5, 9]$ .

b) Pelas informações do enunciados, temos que a função f é definida em partes. E, em cada parte, temos:

(1) $- 2 \leq x \leq 2$ : a lei de formação foi dita no enunciado e, então, $y = f (x) = x^{2}$ .

(2) $2 \leq x \leq 5$ : o gráfico é dado por um segmento de reta paralelo ao eixo x. Logo, concluímos que a lei de formação é dada por $y = f (x) = 4$ .

(3) $5 \leq x \leq 9$ : o gráfico é dado por um segmento de reta crescente. Daí, temos que a lei de formação é dada por $y = a x + b$ .

Como (5, 4) e (9, 6) pertencem ao gráfico, então:

$\{\begin{cases} 4 = a \cdot 5 + b \\ 6 = a \cdot 9 + b \end{cases} \Rightarrow a = \frac{1}{2} e b = \frac{3}{2}$

Daí, a lei de formação é dada por $y = f (x) = \frac{x + 3}{2}$ .

Desse modo, concluímos:

$y = f (x) = {\begin{matrix} x^{2}, s e - 2 \leq x \leq 2 \\ 4, s e 2 \leq x \leq 5 \\ \frac{x + 3}{2}, s e 5 \leq x \leq 9 \end{matrix}$

Assim, calcularemos os valores numéricos de acordo com o intervalo do domínio:

(1) $f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} \Rightarrow f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$

(2) $f (\frac{7}{2}) = 4$

(3) $f (8) = \frac{8 + 3}{2} \Rightarrow f (8) = \frac{11}{2}$

c) Perceba que, para calcular a área do retângulo, temos a dependência da abscissa do ponto A e, ainda, dependemos da lei de formação da função em determinados intervalos do domínio. Por isso, precisamos separar em situações para determinar a área do retângulo:

(1° caso): $0 < x \leq 2$ e $f (x) = x^{2}$

Os pontos são $A (x, 0)$ , $B (9, 0)$ , $C (9, x^{2})$ e $D (x, x^{2})$ . Como a base é dada por $A B = 9 - x$ e altura é dada por $B C = x^{2}$ , então:

$R_{x} = (9 - x) \cdot x^{2} \Rightarrow R_{x} = - x^{3} + 9 x^{2}$

(2° caso): $2 < x \leq 5$ e $f (x) = 4$

Os pontos são $A (x, 0)$ , $B (9, 0)$ , $C (9, 4)$ e $D (x, 4)$ . Como a base é dada por $A B = 9 - x$ e altura é dada por $B C = 4$ , então:

$R_{x} = (9 - x) \cdot 4 \Rightarrow R_{x} = - 4 x + 36$

(3° caso): $5 < x < 9$ e $f (x) = \frac{x + 3}{2}$

Os pontos são $A (x, 0)$ , $B (9, 0)$ , $C (9, \frac{x + 3}{2})$ e $D (x, \frac{x + 3}{2})$ . Como a base é dada por $A B = 9 - x$ e altura é dada por $B C = \frac{x + 3}{2}$ , então:

$R_{x} = (9 - x) \cdot (\frac{x + 3}{2}) \Rightarrow R_{x} = \frac{- x^{2} + 6 x + 27}{2}$