Questão 6 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2

a) Seja $x$ a quantidade de latas E2 e $y$ a quantidade de latas E1. Assim:

$2·x+1·y=200$

Lembre-se que as quantidades são números de contagem, isto é, números naturais. Portanto, para determinar a quantidade de pacotes, precisamos contar quantas soluções inteiras não negativas tem a equação $2x+y=200$. 

Perceba que ao escolher um valor para $x$, imediatamente já encontramos o valor de $y$:

• se $x=0$: $2·0+y=200\Rightarrow y=200$
• se $x=1$: $2·1+y=200\Rightarrow y=198$
•  se $x=2$: $2·2+y=200\Rightarrow y=194$

...

• se $x=100$: $2·100+y=200\Rightarrow y=0$

Daí, encontramos os pares (0, 200), (1, 198), (2, 196), ..., (100, 0). Logo, são 101 possibilidades.

b) Seja $x$ a quantidade de latas E2, $y$ a quantidade de latas E1 e $z$ a quantidade de latas M1. Assim:

$2·x+1·y+1·z=200$

Lembre-se que as quantidades são números de contagem, isto é, números naturais. Portanto, para determinar a quantidade de pacotes, precisamos contar quantas soluções inteiras não negativas tem a equação $2x+y+z=200$. 

Perceba que, agora, ao escolher um valor para $x$, precisaremos escolher os possíveis valores entre $y$ e $z$:

(1) caso $x=0$:  $y+z = 200: \{\begin{array}{c}(0, 200)\\ (1, 199)\\ ...\\ (200, 0)\end{array} \therefore 201 soluções$

(2) caso $x=1$:  $y+z = 198: \{\begin{array}{c}(0, 198)\\ (1, 197)\\ ...\\ (198, 0)\end{array} \therefore 199 soluções$

(3) caso $x=2$:  $y+z = 196: \{\begin{array}{c}(0, 196)\\ (1, 195)\\ ...\\ (196, 0)\end{array} \therefore 197 soluções$

e assim consecutivamente, até chegar em:

(101) caso  $x=100$:  $y+z = 0: \{\left(0,0\right) \therefore 1 solução$

Portanto, a quantidade de soluções é dada por:

$t=201+199+197+...+1$

Isto é, uma soma de P.A. de razão 2 com 101 termos. 

Logo, temos:

$t=201+199+197+...+1=\left(201+1\right)·\frac{101}{2}\Rightarrow \boxed{t=10201 \text{possibilidades}}$

c) Seja $x$ a quantidade de latas E2, $y$ a quantidade de latas M2, $z$ a quantidade de latas E1 e $w$ a quantidade de latas M1. Assim:

$2·x+2·y+1·z+1·w=20$

Lembre-se que as quantidades são números de contagem, isto é, números naturais. Portanto, para determinar a quantidade de pacotes, precisamos contar quantas soluções inteiras não negativas tem a equação $2x+2y+z+w=20$. 

Perceba que, agora, ao escolher um valor para $x$, precisaremos escolher os possíveis valores entre $y$ , $z$ e $w$:

(1° caso): $x=0$

•  $x=0$ e $y=0$ :  $z+w = 20: \{\begin{array}{c}(0, 20)\\ (1, 19)\\ ...\\ (20, 0)\end{array} \therefore 21 soluções$
•  $x=0$ e $y=1$:  $z+w = 18: \{\begin{array}{c}(0, 18)\\ (1, 17)\\ ...\\ (18, 0)\end{array} \therefore 19 soluções$

...

• $x=0$ e $y=10$:  $z+w = 0: \{\left(0, 0\right) \therefore 1 solução$

Do mesmo raciocínio do item b, conseguimos concluir que a quantidade total de soluções é dada por:

$t_1=21+19+...+1=\frac{\left(21+1\right)·11}{2}\Rightarrow t_1=121$

(2° caso): $x=1$

•  $x=1$ e $y=0$ :  $z+w = 18: \{\begin{array}{c}(0, 18)\\ (1, 17)\\ ...\\ (18, 0)\end{array} \therefore 19 soluções$
•  $x=1$ e $y=1$:  $z+w = 16: \{\begin{array}{c}(0, 16)\\ (1, 15)\\ ...\\ (16, 0)\end{array} \therefore 17 soluções$

...

• $x=1$ e $y=9$:  $z+w = 0: \{\left(0, 0\right) \therefore 1 solução$

Do mesmo raciocínio do item b, conseguimos concluir que a quantidade total de soluções é dada por:

$t_2=19+17+...+1=\frac{\left(19+1\right)·10}{2}\Rightarrow t_2=100$

Repetindo esse mesmo procedimento até o 11° caso (em que $x=10$), encontramos a seguinte quantidade de soluções:

$$\begin{gathered} T=t_1+t_2+...+t_{11}= \\ =121+100+81+64+49+36+25+16+9+4+1 \\ =\boxed{506 \text{possibilidades}} \end{gathered}$$