Questão 5 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Função Quadrática Estudo Analítico da Circunferência

Considere, no plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto $(0, 3)$ e com raio $2$ e, para cada $a \in ℝ$ , $a \neq 0$ , a parábola cuja equação é $y = a x^{2} + 1$ .

a) Para $a = - 1$ , encontre o ponto comum entre a circunferência e a parábola.

b) Para $a = 1$ , apresente $3$ pontos em comum entre a circunferência e a parábola.

c) Encontre todos os valores de $a$ para os quais a circunferência e a parábola possuam exatamente $3$ pontos em comum.

Resolução

Lembramos que a circunferência de centro $(0, 3)$ e raio 2 tem equação reduzida dada por:

${(x - 0)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2^{2}$

Na forma geral, o que pode ser útil para algumas contas a seguir, temos:

$x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 = 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0$

a) Para $a = - 1$ , temos o sistema:

$\{\begin{cases} y = - x^{2} + 1 \\ x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = 1 - y \\ x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0 \end{cases}$

Substituindo a primeira equação na segunda, vem que:

$1 - y + y^{2} - 6 y + 5 = 0 \Leftrightarrow y^{2} - 7 y + 6 = 0 \Leftrightarrow$

$y = 1$ ou $y = 6$

Substituindo em $x^{2} = 1 - y$ , ficamos com:

para $y = 1$ : $x^{2} = 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ;
para $y = 6$ : $x^{2} = 1 - 6 = - 5$ , equação que não tem solução em $ℝ$ .

Assim, para $a = - 1$ , só há um ponto em comum entre a circunferência e a parábola, que é o ponto $(0, 1)$ .

Também é possível chegar a essa conclusão através da análise dos gráficos das duas curvas no plano cartesiano:

Pelo desenho, inclusive, podemos observar algo mais geral: como as parábolas de expressão $y = a x^{2} + 1$ têm vértice fixo no ponto $(0, 1)$ , qualquer $a < 0$ faria o ponto $(0, 1)$ ser o único ponto em comum entre a parábola e a circunferência.

b) Para $a = 1$ , temos o sistema:

$\{\begin{cases} y = x^{2} + 1 \\ x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = y - 1 \\ x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0 \end{cases}$

Substituindo a primeira equação na segunda, vem que:

$y - 1 + y^{2} - 6 y + 5 = 0 \Leftrightarrow y^{2} - 5 y + 4 = 0 \Leftrightarrow$

$y = 1$ ou $y = 4$

Substituindo em $x^{2} = y - 1$ , ficamos com:

para $y = 1$ : $x^{2} = 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ;
para $y = 4$ : $x^{2} = 4 - 1 = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$ .

Assim, para $a = 1$ , a circunferência e a parábola terão 3 pontos em comum: $(0, 1)$ , $(- \sqrt{3}, 4)$ e $(\sqrt{3}, 4)$ .

Representando essa situação no plano cartesiano:

c) Vamos analisar o sistema:

$\{\begin{cases} y = a \cdot x^{2} + 1 \\ x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y - 1 = a \cdot x^{2} \\ x^{2} = 2^{2} - {(y - 3)}^{2} \end{cases}$

Substituindo a segunda equação na primeira, vem que:

$y - 1 = a \cdot [2^{2} - {(y - 3)}^{2}]$

Observando que o lado direito dessa igualdade admite uma fatoração, já que é uma diferença de quadrados, temos que:

$y - 1 = a \cdot [2 + (y - 3)] \cdot [2 - (y - 3)] \Leftrightarrow y - 1 = a \cdot (y - 1) \cdot (5 - y)$

Dessa igualdade, e sendo $a \neq 0$ , ficamos com:

$y = 1$ ou $1 = a \cdot (5 - y) \Leftrightarrow y = 5 - \frac{1}{a}$

Para que a a circunferência e a parábola tenham 3 pontos em comum, devemos impor duas coisas:

$a$ deve ser positivo, pois caso contrário, como já observamos no final do item (a), só haveria um ponto em comum, que seria o ponto $(0, 1)$ ;
a ordenada comum dos outros dois pontos de intersecção, dada por $y = 5 - \frac{1}{a}$ deve ser tal que $1 < y < 5$ . Isso ocorre porque a circunferência não tem pontos com ordenada $y < 1$ ou $y > 5$ . Além disso, tal ordenada também não pode ser 1, pois senão voltaríamos ao caso do ponto $(0, 1)$ como único ponto em comum, e não pode ser 5, pois a parábola não pode ter um segundo ponto sobre o eixo das ordenadas além do ponto $(0, 1)$ .

Assim, impomos:

$\{\begin{cases} a > 0 \\ 1 < 5 - \frac{1}{a} < 5 \end{cases}$

Na segunda inequação, podemos multiplicar todos os membros por $a$ mantendo os sinais de inequação, já que $a > 0$ . Portanto:

$\{\begin{cases} a > 0 \\ a < 5 a - 1 < 5 a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ 1 < 4 a \\ - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ \frac{1}{4} < a \end{cases} \Leftrightarrow a > \frac{1}{4}$