Questão 3 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Probabilidade Divisibilidade

Considere o conjunto $C$ de pontos do plano cartesiano da forma $(m, n)$ , com $m$ e $n$ pertencentes a $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .

a) Apresente todos os pontos $(m, n)$ de $C$ para os quais o produto $m \cdot n$ é maior do que 60.

b) Sorteando-se um ponto $(m, n)$ de $C$ , com iguais probabilidades para todos os pontos, qual é a probabilidade de que a fração $\frac{m}{n}$ seja redutível?

c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de $C$ , qual é a probabilidade de que a distância entre eles seja igual a $\sqrt{13}$ ?

Note e Adote:

Uma fração $\frac{m}{n}$ é redutível quando $m$ e $n$ possuem um divisor natural em comum, além do 1

Resolução

Considere todas as possibilidades:

a) Perceba que o maior valor do produto $m \cdot n$ é dado por $9 \cdot 9$ e o menor valor é dado por $3 \cdot 3$ . Desse modo, como números maiores $60$ são mais próximos do maior valor dos produtos, podemos encontrar as seguintes situações:

Portanto, os pares ordenados pedidos são (7,9), (8,8), (8,9), (9,7), (9,8) e (9, 9).

b) Como temos 7 possibilidades para cada coordenada (abscissa ou ordenada), então o espaço amostral é dado por:

$n (E) = 7 \cdot 7 = 49$

Sabe-se que o evento é dado por "o ponto $(m, n)$ se tornar a fração $\frac{m}{n}$ redutível". Lembre-se que para termos uma fração redutível, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tenham pelo menos um fator primo em comum. Isto é: que dê para simplificar a fração.

Analisando todos os casos possíveis, conseguimos encontrar os seguintes pontos:

Desse modo, temos 19 pares ordenados que se tornam frações redutíveis.

Portanto, a probabilidade pedida é dada por $p = \frac{19}{49}$ .

c) Como agora serão sorteados dois pares ordenados (e sabemos, pelo item b, que temos 49 pares no total), então o número de elementos do espaço amostral é dado por:

$n (E) = C_{49, 2} = \frac{49!}{2! \cdot 47!} = 1176$

Agora, para determinar o evento, podemos considerar dois pontos quaisquer: $A (x_{1}, y_{1})$ e $B (x_{2}, y_{2})$ de tal modo que a distância seja $\sqrt{13}$ . Veja que:

$d_{A, B} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = \sqrt{13} \Rightarrow {(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2} = 13$

Como as coordenadas são inteiras, perceba que $∆ x$ e $∆ y$ são inteiros também. As únicas maneiras de obtermos 13 como soma de quadrados de dois números inteiros são quando:

(1) $\{\begin{cases} ∆ x = \pm 3 \\ ∆ y = \pm 2 \end{cases} :$

(i) possibilidades para $x$ : 6 e 3, 7 e 4, 8 e 5, 9 e 6.

(ii) possibilidades para $y$ : 5 e 3; 6 e 4; 7 e 5; 8 e 6; 9 e 7.

Portanto, temos a seguinte quantidade de pares ordenados:

$\underset{p a r e s d e x}{\underset{⏟}{4}} \cdot \underset{p a r e s d e y}{\underset{⏟}{5}} \cdot \overset{c r i a ç ã o d o p a r o r d e n a d o}{\overset{⏞}{2}} = 40$

(2) $\{\begin{cases} ∆ x = \pm 2 \\ ∆ y = \pm 3 \end{cases} :$ é análogo ao caso anterior. Ou seja, totalizamos 40 possibilidades.

Daí, a probabilidade é dada por:

$p = \frac{40 + 40}{1176} = \frac{80}{1176} = \frac{10}{147}$

Portanto, $p = \frac{10}{147}$