Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Campo elétrico uniforme

Diversos processos celulares presentes no corpo humano envolvem fenômenos elétricos. Um dos mais importantes é o fato de uma membrana celular, que separa o interior celular do exterior, apresentar um acúmulo de ânions (cargas negativas) e cátions (cargas positivas) nas superfícies interna e externa, respectivamente, o que resulta no surgimento de uma diferença de potencial 𝑈 ao longo da membrana. Considere que 𝑈 cresce linearmente de 0 a $U_{0}$ na região entre $x = 0$ e $x = d$ , como mostra a figura.

a) Indique o sentido do vetor campo elétrico no interior da membrana (se está apontando para o interior ou para o exterior da célula). Justifique sua resposta.

b) Obtenha o módulo do campo elétrico (em $\frac{V}{m}$ ) considerando que a membrana tenha espessura $d = 64 Å$ e que $U_{0} = 0, 08 V$ .

c) Supondo agora uma membrana em que o campo elétrico tenha intensidade $10^{7} \frac{V}{m}$ , encontre a razão $\frac{F_{e}}{F_{g}}$ , em que $F_{e}$ é o módulo da força eletrostática e $F_{g}$ é o módulo da força gravitacional, ambas exercidas sobre um íon monovalente localizado na região $0 < x < d$ , conforme a figura.

Note e adote:

$1 Å = 10^{- 10} m$

Carga de um íon monovalente = $1, 6 \times 10^{- 19} C$ .

Considere, para efeitos de cálculo desta questão, a massa de um íon como $10^{- 30} kg$ .

Aceleração da gravidade: $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ .

Resolução

a) As linhas de campo elétrico se originam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas e, como o vetor campo elétrico é tangente às linhas de campo, então o vetor campo elétrico segue o mesmo sentido das linhas de campo, do meio exterior para o interior da célula, conforme a imagem abaixo:

b) A diferença de potencial na membrana é de 0,08 V e, sabendo sua espessura (64 x 10^-10 m), podemos usar a relação:

$E \cdot d = U \Rightarrow$

$E = \frac{U}{d} \Rightarrow$

$E = \frac{8 \cdot 10^{- 2}}{64 \cdot 10^{- 10}} \Rightarrow$

$E = 1, 25 \cdot 10^{7} V / m .$

c) Usando as informações do quadro note e adote, temos os valores da massa do íon (m = 10^-30 kg), da carga do íon (q = 1,6 x 10^-19 C) da aceleração da gravidade (g = 10 m/s²) e o valor do campo E = 10⁷ V/m foi fornecido pelo enunciado. Assim:

$\frac{F_{e}}{F_{g}} = \frac{q \cdot E}{m \cdot g} \Rightarrow$

$\frac{F_{e}}{F_{g}} = \frac{1, 6 \cdot 10^{- 19} \cdot 10^{7}}{10^{- 30} \cdot 10} \Rightarrow$

$\frac{F_{e}}{F_{g}} = 1, 6 \cdot 10^{17} .$

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equação fundamental da ondulatória Transformação Isotérmica (Física)

A conversão de energia mecânica das ondas do mar é uma promissora fonte alternativa de energia limpa, e vários protótipos têm sido desenvolvidos para este fim. Uma das possíveis aplicações é o uso de câmaras de ar pressurizadas que usem a oscilação das ondas do mar para fazer girar o eixo de um dínamo ou de uma turbina, gerando energia elétrica.

Considere o esquema mostrado na figura: uma boia flutua no mar e seu movimento vertical faz mover o pistão 1 de área A que comprime o ar em uma câmara pressurizada a uma pressão $P_{0}$ . A distância máxima entre o pistão 1 e o topo da câmara é L. Um segundo pistão (pistão 2) de área A/10 colocado horizontalmente na lateral superior da câmara é acoplado a um mecanismo que faz girar um dínamo.

Considere inicialmente que ambos os pistões são livres para se movimentarem sem atrito e que a pressão e a temperatura do gás no interior da câmara não se alterem significativamente.

a) Se as ondas do mar forem ondas perfeitamente harmônicas com velocidade de 3 m/s e a distância entre as cristas for de 5 m, calcule o período de rotação do dínamo.

b) Se a amplitude das ondas do mar é h, calcule a distância horizontal máxima d percorrida pelo pistão 2. Considere agora uma situação em que o gerador é desativado, travando-se o pistão 2, de modo que ele não possa se mover.

c) Calcule a pressão máxima na câmara considerando que a temperatura do gás em seu interior não varie. Expresse sua resposta em termos da pressão inicial na câmara $P_{0}$ , e de L e h.

Note e adote:

Considere o gás no interior da câmara como sendo ideal e em equilíbrio termodinâmico em todas as etapas do processo.

Resolução

a) Ao se propagarem, as ondas do mar fazem a boia subir e descer. Quando a boia sobe (de um vale para uma crista da onda) o pistão é empurrado e o dínamo realiza meia volta. Quando a boia desce (de uma crista para um vale da onda), o pistão é puxado de volta e o dínamo realiza mais meia volta.

Assim, quando um comprimento de onda (de um vale até outro vale) percorre a boia, o dínamo realiza uma volta completa. Portanto, o período do dínamo é o mesmo período das ondas do mar e, usando a relação fundamental da onduatória, temos:

$v = λ \cdot f = \frac{λ}{T} \Rightarrow$

$T = \frac{λ}{v} \Rightarrow$

$T = \frac{5}{3} s .$

b) O volume do gás no interior da câmara deve permanecer constante, de maneira que o volume deslocado pela subida do pistão 1 V₁ deve ser o mesmo volume liberado pelo deslocamento do pistão 2, V₂. De acordo com a figura do enunciado:

$V_{1} = V_{2} \Rightarrow$

$A \cdot h = \frac{A}{10} \cdot d \Rightarrow$

$d = 10 \cdot h .$

Observe no entanto que o enunciado afirma que "a amplitude das ondas do mar é h", assim, se ignorarmos a figura e considerarmos apenas o enunciado, a variação da altura da câmara presurizada passa a ser de 2h, possibilitando assim duas respostas possíveis:

$V_{1} = V_{2} \Rightarrow$

$A \cdot 2 h = \frac{A}{10} \cdot d \Rightarrow$

$d = 20 \cdot h .$

Por se tratar de uma questão dissertativa, acreditamos que ambas as respostas devam ser consideradas pela banca.

c) Como a temperatura do gás não varia, temos uma transformação isotérmica. Considerando o gás no interior da câmara como um gás ideal, podemos usar a relação:

$P_{0} \cdot V_{0} = P_{m á x} \cdot V \Rightarrow$

$P_{0} \cdot A \cdot L = P_{m á x} \cdot A \cdot (L - h) \Rightarrow$

$P_{0} \cdot V_{0} = P_{m á x} \cdot V \Rightarrow$

$P_{0} \cdot A \cdot L = P_{m á x} \cdot A \cdot (L - h) \Rightarrow$

$P_{m á x} = P_{0} \cdot \frac{L}{(L - h)} .$

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Introdução à Física Quântica Espectro da radiação eletromagnética Equação fundamental da ondulatória

O laser consiste em uma fonte de luz coerente e monocromática, sendo largamente utilizado em leitores de códigos de barras e também em aplicações na física, na medicina e em outras áreas. Seu princípio de funcionamento é baseado na emissão estimulada de fótons. Em um tipo comum de laser, uma quantidade de átomos é excitada para um estad Do de energia $E_{2}$ . Em seguida alguns desses átomos são estimulados a decair para um estado de energia menor $E_{1}$ , emitindo um fóton com energia dada pela diferença entre $E_{2}$ e $E_{1}$ .e modo similar, esse decaimento estimula outros átomos a emitirem fótons formando um processo em cadeia com geração de luz.

a) Qual tipo de laser emite fótons com maior energia: o de luz vermelha ou o de luz azul? Justifique sua resposta.

b) Determine a frequência (em Hz) de um fóton com comprimento de onda na região de cor laranja mostrada na figura.

c) Determine o comprimento de onda de um fóton (em nm) considerando um laser cujas energias $E_{2}$ e $E_{1}$ correspondem aproximadamente a 20,2 eV e 18,7 eV, respectivamente.

Note e adote:

A energia E de um fóton relaciona-se com sua frequência f por meio da relação E = hf, onde $h = 4 \times 10^{- 15}$ eV $\cdot$ s e a frequência é dada em Hz.

Velocidade da luz no vácuo: $c = 3 \times 10^{8} \frac{m}{s}$ .

Legenda para daltônicos: Gráfico do espectro visível com cores em função do comprimento de onda, que se inicia no azul (lado esquerdo a 400 nm), passando pelo verde (500 nm), amarelo (550 nm), laranja (600 nm) e terminando no vermelho (lado direito a 700 nm).

Resolução

a) A energia dos fótons é proporcional a sua frequência, assim, fótons de maior frequência possuem maior energia. Observando o espectro eletromagnético fornecido pela questão, vemos que a cor azul possui menor comprimento de onda. Pela relação fundamental da ondulatória ( $v = λ \cdot f$ ), quanto menor o comprimento de onda, maior a frequência.

Assim, lasers de luz azul emitem fótons com maior energia.

b) Para a cor laranja temos λ = 600 nm (6 x 10^-7 m). Assim, usando a relação fundamental da ondulatória:

$v = λ \cdot f \Rightarrow$

$f = \frac{v}{λ} \Rightarrow$

$f = \frac{3 \cdot 10^{8}}{6 \cdot 10^{- 7}} \Rightarrow$

$f = 5 \cdot 10^{14} Hz .$

c) A energia do fóton E_f pode ser expressa a partir do seu comprimento de onda, substituindo a frequência por f = c / λ (relação fundamental da ondulatória). Assim:

$E_{f} = h \cdot f \Rightarrow E_{f} = h \cdot \frac{c}{λ} .$

A energia E_f do fóton corresponde a diferença de energia entre E₂ e E₁. Assim:

$E_{f} = E_{2} - E_{1} \Rightarrow$

$E_{2} - E_{1} = h \cdot \frac{c}{λ} \Rightarrow$

$λ = \frac{h \cdot c}{(E_{2} - E_{1})} .$

Substituindo os valores das grandezas envolvidas e usando o valor da constante h conforme fornecido pela questão, obtemos:

$λ = \frac{4 \cdot 10^{- 15} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{(20, 2 - 18, 7)} \Rightarrow$

$λ = 8 \cdot 10^{- 7} m \Rightarrow$

$λ = 800 nm .$

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Energia Cinética na Dinâmica Forças na Mecânica

Uma bola de borracha de massa 𝑚 = 50 gramas é abandonada do repouso, a partir de uma certa altura ℎ. A resistência do ar não é desprezível, e o movimento da bola durante 0,6 segundo após o início da queda é registrado por uma câmera de alta resolução. Considerando o esquema da situação inicial e os gráficos da dependência temporal da altura 𝑦 e da velocidade vertical $v_{y}$ da bola, responda às questões a seguir.

a) No instante t = 0,2 s, a força resultante que atua sobre a bola tem sentido para cima, sentido para baixo ou tem intensidade nula? Justifique sua resposta.

b) Calcule a energia cinética perdida pela bola entre os instantes imediatamente antes e imediatamente depois do choque com o solo.

c) Calcule o módulo da força média de resistência do ar atuando sobre a bola entre o instante inicial e o instante imediatamente antes de ela atingir o solo pela primeira vez.

Note e adote:

Despreze as dimensões da bola frente à altura inicial. Aceleração da gravidade: $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ .

Resolução

a) Observado o gráfico que indica a velocidade da bola em função do tempo, vemos que no instante t = 0,2 s a bola possui velocidade v_y ≈ - 1,5 m/s, ou seja, sua velocidade aponta para baixo.

Como sua velocidade ainda irá aumentar em módulo, chegando em -3 m/s no instante t = 0,5 s, podemos concluir que a bola está sendo acelerada para baixo e, portanto, a força resultante sobre a bola em t = 0,2 s aponta para baixo, pois a aceleração e força resultante possuem sempre o mesmo sentido e direção, conforme a 2ª Lei de Newton.

${\vec{F}}_{R} = m \cdot \vec{a}$

b) A energia dissipada será dada pela diferença entre as energias cinéticas imediatamente antes e imediatamente depois. (Lembrando que a massa da bola deve estar em quilograma para o cálculo da energia)

$E_{d} = E_{a n t e s} - E_{d e p o i s} \Rightarrow$

$E_{d} = \frac{m \cdot (v_{a n t e s})^{2}}{2} - \frac{m \cdot (v_{d e p o i s})^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{d} = \frac{50 \cdot 10^{- 3}}{2} \cdot (9 - 4) \Rightarrow$

$E_{d} = 0, 125 J .$

c) Vamos considerar a aceleração média da bola ao longo da sua queda. Pelos gráficos, é possível concluir que o tempo de queda da bola foi de 0,5 s antes de bater no solo pela primeira vez. Ao bater no solo, o módulo de sua velocidade foi de 3 m/s, conforme o gráfico das velocidades em função do tempo. Assim, sua aceleração média nesta queda será de:

$a_{m} = \frac{∆ v}{∆ t} \Rightarrow$

$a_{m} = \frac{3}{0, 5} \Rightarrow$

$a_{m} = 6 m / s^{2} .$

Assim, podemos determinar a força resultante média ao longo da queda, sabendo que seu valor será dado pela diferença entre a força peso P e a força de resistência do ar F_res. Assim:

$F_{R} = P - F_{r e s} \Rightarrow$

$m \cdot a = m \cdot g - F_{r e s} \Rightarrow$

$F_{r e s} = m \cdot (g - a) \Rightarrow$

$F_{r e s} = 50 \cdot 10^{- 3} \cdot (10 - 6) \Rightarrow$

$F_{r e s} = 0, 2 N .$

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Força Entre Cargas Puntiformes Equilíbrio de Ponto Material Energia Potencial Elástica

Duas esferas de massa 𝑚, ambas carregadas eletricamente com a mesma carga 𝑞, estão localizadas nas extremidades de fios isolantes, de comprimento 𝐿, presos ao teto, e formam o arranjo estático mostrado na figura.

a) Na folha de respostas, faça um diagrama de corpo livre da esfera 1, indicando todas as forças que atuam sobre ela.

b) Determine a razão $\frac{q^{2}}{m}$ em termos do comprimento 𝐿 dos fios, da aceleração da gravidade 𝑔 e da constante eletrostática do vácuo 𝑘.

c) Considere que as mesmas esferas são desconectadas dos fios e conectadas às extremidades de uma mola de constante elástica igual a 50 N/m. O conjunto é deixado sobre uma superfície isolante e sem atrito, atingindo o equilíbrio quando a força elétrica entre elas é de 0,1 N. Nessas condições, qual será o valor da energia armazenada na mola?

Note e adote:

Despreze as dimensões das esferas frente ao comprimento dos fios.

FOLHA DE RESPOSTA:

Resolução

a) Observe a figura abaixo:

Sendo T a força de tração no fio, P a força peso e F_el a força elétrica.

b) Lembremos que a força peso é dada por

$P = m \cdot g$ (Eq. I)

e que a força elétrica entre duas cargas idênticas, distantes d uma da outra é dada por

$F_{e l} = \frac{k | Q | \cdot | q |}{d^{2}} = \frac{k \cdot q^{2}}{d^{2}} .$ (Eq. II)

Observe abaixo que podemos determinar a distância entre as cargas em função do comprimento L do fio.

$sen 45 ° = \frac{d / 2}{L} \Rightarrow$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{2 L} \Rightarrow$

$d = \sqrt{2} L .$ (Eq. III)

Voltando ao diagrama de corpo livre do item a), vemos que o peso é igual à força elétrica:

Portanto, de uma relação trigonométrica e das equações I, II e III, temos:

$tg 45 ° = \frac{F_{e l}}{P} \Rightarrow$

$F_{e l} = P \Rightarrow$

$\frac{k q^{2}}{d^{2}} = m g \Rightarrow$

$\frac{k q^{2}}{(L \sqrt{2})^{2}} = m g \Rightarrow$

$\frac{q^{2}}{m} = \frac{2 L g}{k} .$

c) Note que foram dadasa $F_{e l é t r i c a} = 0, 1 N$ e a $k = 50 N / m$ para, respectivamente, a força elétrica e para a constante elástica da mola. Como o sistema está em equilíbrio sobre uma superfície horizontal, isolante e sem atrito, então a força elétrica é igual à elástica ( $F_{e l á s t i c a} = 0, 1 N$ ).

A energia armazenada na mola é dada por:

$E_{m o l a} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} .$

Portanto, vamos calcular a variação do comprimento da mola pela Lei de Hooke:

$F_{e l á s t i c a} = k \cdot x \Rightarrow$

$0, 1 = 50 \cdot x \Rightarrow$

$x = 2 \cdot 10^{- 3} m .$

Substituindo os dados, na equação da energia, temos:

$E_{m o l a} = \frac{50 \cdot (2 \cdot 10^{- 3})^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{mola} = 1 \cdot 10^{- 4} J .$

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Dilatação Anômala da Água Equação do Calor Específico sem Mudança de Fase

O último relatório do Painel Intergovernamental sobre Mudanças Climáticas da ONU (IPCC) mostra que uma parcela significativa do aumento dos níveis dos oceanos vem da expansão térmica da água. Essa expansão ocorre principalmente nas camadas superiores dos oceanos, até cerca de 700 m de profundidade.

O gráfico a seguir mostra a variação da razão $v (T) / v (T = 6 ° C)$ onde $v (T)$ é o volume de 1 g de água (em $c m^{3}$ ) à pressão ambiente (também chamado de volume específico) em função da temperatura T expressa em graus Celsius.

Fonte: Engineering ToolBox, (2004). Water - Specific Volume. Disponível em https://www.engineeringtoolbox.com/water-specific-volume-weight-d_661.html/.

a) Se uma coluna de água inicialmente a uma temperatura de $1 ° C$ for aquecida até $3 ° C$ , sua altura aumenta ou diminui? Justifique com base nos dados do gráfico.

b) Considere uma coluna de água cuja altura a $6 ° C$ é de 700 m. Assumindo que toda a expansão volumétrica ocorra na direção vertical e que sua massa não varie, estime, com base nos dados do gráfico, a variação de altura da coluna quando esta é aquecida de $6 ° C$ até $9 ° C$ . Expresse seu resultado em centímetros.

c) Considere uma coluna de água de 700 m de altura que sofre um aumento de temperatura de $2 ° C$ . Assumindo que a massa dessa coluna de água não varie, desprezando a variação da massa específica da água com a temperatura e admitindo que esta seja constante e igual a $1 \frac{g}{c m^{3}}$ , calcule o calor absorvido pela coluna por unidade de área de superfície. Expresse seu resultado em $\frac{J}{m^{2}}$ .

Note e adote:

Considere que o volume específico da água (definida pelo inverso da massa específica) não varie com a profundidade.

Calor específico da água: $4, 2 \frac{J}{(g ° C)}$ .

Resolução

a) Observando o gráfico, vemos que a razão $v (T) / v (T = 6 ° C)$ varia de 1,00001 para 0,99995 quando a temperatura da água varia de $1 ° C$ para $3 ° C$ , ou seja, o volume $v (T)$ diminui. Portanto, a coluna de água diminui a sua altura.

b) Consultando o gráfico dado no enunciado, vemos que $v (T) / v (T = 6 ° C) = 1, 00016$ . Seja A a área da base da coluna considerada e $h_{0} = 700 m$ a sua altura a 6 ºC e $h_{f}$ a altura a 9 ºC. Lembrando que o volume é $A \cdot h$ , temos:

$\frac{v (T)}{v (T = 6 ° C)} = 1, 00016 \Rightarrow$

$\frac{A \cdot h_{f}}{A \cdot h_{0}} = 1, 00016 \Rightarrow$

$h_{f} = 1, 00016 \cdot h_{0} .$

A variação de altura é dada por:

$h_{f} - h_{0} = 1, 00016 \cdot h_{0} - h_{o} \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 0, 00016 \cdot h_{0} \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 0, 00016 \cdot 700 \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 0, 112 m \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 11, 2 cm .$

c) Considerando A como sendo a área total da região considerada, queremos a quantidade de calor por unidade de área ( $Q / A$ ), sendo $Q = m \cdot c \cdot ∆ T$ o calor sensível da água.

Utilizando a relação entre a densidade d, massa m e volume V ( $m = d \cdot V$ ), encontramos a seguinte relação:

$\frac{Q}{A} = \frac{m \cdot c \cdot ∆ T}{A} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = \frac{d \cdot v \cdot c \cdot ∆ T}{A} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = \frac{d \cdot A \cdot h \cdot c \cdot ∆ T}{A} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = d \cdot h \cdot c \cdot ∆ T .$

Substituindo os dados e fazendo as conversões necessárias na resolução, temos:

$\frac{Q}{A} = 1 \frac{g}{{cm}^{3}} \cdot 700 m \cdot 4, 2 \frac{J}{g \cdot º C} \cdot 2 º C \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = 5880 \frac{m \cdot J}{{cm}^{3}} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = 5880 \frac{m \cdot J}{(10^{- 2} m)^{3}} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = 5, 88 \cdot 10^{9} \frac{J}{m^{2}} .$