Questão 5 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Força Entre Cargas Puntiformes Equilíbrio de Ponto Material Energia Potencial Elástica

Duas esferas de massa 𝑚, ambas carregadas eletricamente com a mesma carga 𝑞, estão localizadas nas extremidades de fios isolantes, de comprimento 𝐿, presos ao teto, e formam o arranjo estático mostrado na figura.

a) Na folha de respostas, faça um diagrama de corpo livre da esfera 1, indicando todas as forças que atuam sobre ela.

b) Determine a razão $\frac{q^{2}}{m}$ em termos do comprimento 𝐿 dos fios, da aceleração da gravidade 𝑔 e da constante eletrostática do vácuo 𝑘.

c) Considere que as mesmas esferas são desconectadas dos fios e conectadas às extremidades de uma mola de constante elástica igual a 50 N/m. O conjunto é deixado sobre uma superfície isolante e sem atrito, atingindo o equilíbrio quando a força elétrica entre elas é de 0,1 N. Nessas condições, qual será o valor da energia armazenada na mola?

Note e adote:

Despreze as dimensões das esferas frente ao comprimento dos fios.

FOLHA DE RESPOSTA:

Resolução

a) Observe a figura abaixo:

Sendo T a força de tração no fio, P a força peso e F_el a força elétrica.

b) Lembremos que a força peso é dada por

$P = m \cdot g$ (Eq. I)

e que a força elétrica entre duas cargas idênticas, distantes d uma da outra é dada por

$F_{e l} = \frac{k | Q | \cdot | q |}{d^{2}} = \frac{k \cdot q^{2}}{d^{2}} .$ (Eq. II)

Observe abaixo que podemos determinar a distância entre as cargas em função do comprimento L do fio.

$sen 45 ° = \frac{d / 2}{L} \Rightarrow$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{2 L} \Rightarrow$

$d = \sqrt{2} L .$ (Eq. III)

Voltando ao diagrama de corpo livre do item a), vemos que o peso é igual à força elétrica:

Portanto, de uma relação trigonométrica e das equações I, II e III, temos:

$tg 45 ° = \frac{F_{e l}}{P} \Rightarrow$

$F_{e l} = P \Rightarrow$

$\frac{k q^{2}}{d^{2}} = m g \Rightarrow$

$\frac{k q^{2}}{(L \sqrt{2})^{2}} = m g \Rightarrow$

$\frac{q^{2}}{m} = \frac{2 L g}{k} .$

c) Note que foram dadasa $F_{e l é t r i c a} = 0, 1 N$ e a $k = 50 N / m$ para, respectivamente, a força elétrica e para a constante elástica da mola. Como o sistema está em equilíbrio sobre uma superfície horizontal, isolante e sem atrito, então a força elétrica é igual à elástica ( $F_{e l á s t i c a} = 0, 1 N$ ).

A energia armazenada na mola é dada por:

$E_{m o l a} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} .$

Portanto, vamos calcular a variação do comprimento da mola pela Lei de Hooke:

$F_{e l á s t i c a} = k \cdot x \Rightarrow$

$0, 1 = 50 \cdot x \Rightarrow$

$x = 2 \cdot 10^{- 3} m .$

Substituindo os dados, na equação da energia, temos:

$E_{m o l a} = \frac{50 \cdot (2 \cdot 10^{- 3})^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{mola} = 1 \cdot 10^{- 4} J .$