Questão 6 Fuvest 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Dilatação Anômala da Água Equação do Calor Específico sem Mudança de Fase

O último relatório do Painel Intergovernamental sobre Mudanças Climáticas da ONU (IPCC) mostra que uma parcela significativa do aumento dos níveis dos oceanos vem da expansão térmica da água. Essa expansão ocorre principalmente nas camadas superiores dos oceanos, até cerca de 700 m de profundidade.

O gráfico a seguir mostra a variação da razão $v (T) / v (T = 6 ° C)$ onde $v (T)$ é o volume de 1 g de água (em $c m^{3}$ ) à pressão ambiente (também chamado de volume específico) em função da temperatura T expressa em graus Celsius.

Fonte: Engineering ToolBox, (2004). Water - Specific Volume. Disponível em https://www.engineeringtoolbox.com/water-specific-volume-weight-d_661.html/.

a) Se uma coluna de água inicialmente a uma temperatura de $1 ° C$ for aquecida até $3 ° C$ , sua altura aumenta ou diminui? Justifique com base nos dados do gráfico.

b) Considere uma coluna de água cuja altura a $6 ° C$ é de 700 m. Assumindo que toda a expansão volumétrica ocorra na direção vertical e que sua massa não varie, estime, com base nos dados do gráfico, a variação de altura da coluna quando esta é aquecida de $6 ° C$ até $9 ° C$ . Expresse seu resultado em centímetros.

c) Considere uma coluna de água de 700 m de altura que sofre um aumento de temperatura de $2 ° C$ . Assumindo que a massa dessa coluna de água não varie, desprezando a variação da massa específica da água com a temperatura e admitindo que esta seja constante e igual a $1 \frac{g}{c m^{3}}$ , calcule o calor absorvido pela coluna por unidade de área de superfície. Expresse seu resultado em $\frac{J}{m^{2}}$ .

Note e adote:

Considere que o volume específico da água (definida pelo inverso da massa específica) não varie com a profundidade.

Calor específico da água: $4, 2 \frac{J}{(g ° C)}$ .

Resolução

a) Observando o gráfico, vemos que a razão $v (T) / v (T = 6 ° C)$ varia de 1,00001 para 0,99995 quando a temperatura da água varia de $1 ° C$ para $3 ° C$ , ou seja, o volume $v (T)$ diminui. Portanto, a coluna de água diminui a sua altura.

b) Consultando o gráfico dado no enunciado, vemos que $v (T) / v (T = 6 ° C) = 1, 00016$ . Seja A a área da base da coluna considerada e $h_{0} = 700 m$ a sua altura a 6 ºC e $h_{f}$ a altura a 9 ºC. Lembrando que o volume é $A \cdot h$ , temos:

$\frac{v (T)}{v (T = 6 ° C)} = 1, 00016 \Rightarrow$

$\frac{A \cdot h_{f}}{A \cdot h_{0}} = 1, 00016 \Rightarrow$

$h_{f} = 1, 00016 \cdot h_{0} .$

A variação de altura é dada por:

$h_{f} - h_{0} = 1, 00016 \cdot h_{0} - h_{o} \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 0, 00016 \cdot h_{0} \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 0, 00016 \cdot 700 \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 0, 112 m \Rightarrow$

$h_{f} - h_{0} = 11, 2 cm .$

c) Considerando A como sendo a área total da região considerada, queremos a quantidade de calor por unidade de área ( $Q / A$ ), sendo $Q = m \cdot c \cdot ∆ T$ o calor sensível da água.

Utilizando a relação entre a densidade d, massa m e volume V ( $m = d \cdot V$ ), encontramos a seguinte relação:

$\frac{Q}{A} = \frac{m \cdot c \cdot ∆ T}{A} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = \frac{d \cdot v \cdot c \cdot ∆ T}{A} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = \frac{d \cdot A \cdot h \cdot c \cdot ∆ T}{A} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = d \cdot h \cdot c \cdot ∆ T .$

Substituindo os dados e fazendo as conversões necessárias na resolução, temos:

$\frac{Q}{A} = 1 \frac{g}{{cm}^{3}} \cdot 700 m \cdot 4, 2 \frac{J}{g \cdot º C} \cdot 2 º C \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = 5880 \frac{m \cdot J}{{cm}^{3}} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = 5880 \frac{m \cdot J}{(10^{- 2} m)^{3}} \Rightarrow$

$\frac{Q}{A} = 5, 88 \cdot 10^{9} \frac{J}{m^{2}} .$