Unifesp 2º dia

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Movimento Uniformemente Variado Impulso e Quantidade de Movimento

Nas duas extremidades da pista de pouso e decolagem de alguns aeroportos há áreas de escape, cujo objetivo é reter os aviões caso eles não consigam parar até o final da pista. A superfície dessas áreas de escape é composta por um material que se deforma devido ao peso da aeronave, de modo a dificultar o seu deslocamento. A figura mostra um avião que adentrou em uma dessas áreas de escape.

(www.airport-business.com)

Considere que esse avião chegou à área de escape com velocidade de 54 km/h, percorrendo uma trajetória retilínea, com aceleração média de $5, 0 m / s^{2}$ em sentido contrário ao da velocidade, e que parou após um intervalo de tempo igual a 3,0 s.

a) Converta a velocidade inicial do avião para m/s e determine a distância, em metros, que ele percorreu na área de escape.

b) Suponha que a massa desse avião seja $2, 4 \times 10^{4} k g$ e que apenas as forças de resistência atuem sobre ele durante a frenagem. Calcule, em newtons, a intensidade média da resultante das forças de resistência que atuaram sobre o avião durante a sua frenagem na área de escape. Determine a intensidade média do impulso, em $N \cdot s$ , aplicado por essa resultante sobre o avião.

Resolução

a) A conversão da velocidade pode ser feita por substituição das quantidades, considerando que $1 k m = 1000 m$ e $1 h = 3600 s$ :

$v_{0} = 54 \frac{k m}{h} = 54 \frac{1000 m}{3600 s} = \frac{54000}{3600} \frac{m}{s} \Rightarrow$

$v_{0} = 15 \frac{m}{s} .$

Para calcular a distância percorrida é necessário considerar que o movimento possui aceleração constante, hipótese que o enunciado não traz. Sob tal consideração, o deslocamento na frenagem pode ser calculado usando

$Δ s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^{2},$

em que $v_{0} = 15 m / s$ , $a = - 5 m / s^{2}$ (negativa, pois trata-se de um movimento retardado com velocidade tomada positiva), e $t = 3 s$ . Substituindo os valores e usando unidades do Sistema Internacional (SI):

$Δ s = 15 \cdot 3 + \frac{1}{2} (- 5) \cdot 3^{2} = 45 - 22, 5 \Rightarrow$

$Δ s = 22, 5 m .$

b) A força de resistência ${\vec{F}}_{r}$ ao movimento atua como força resultante no avião, pois é a única descrita capaz de atuar na direção do movimento. Portanto, em módulo e tomando os valores médios em unidades do SI,

$F_{r} = F_{r e s u l t a n t e} = m \cdot a \Rightarrow$

$F_{r} = 2, 4 \cdot 10^{4} \cdot 5 \Rightarrow F_{r} = 1, 2 \cdot 10^{5} N .$

A intensidade do impulso desta força resultante de resistência é dada pelo módulo da variação da quantidade de movimento:

$I = |Δ \vec{Q}| .$

Como a velocidade final do avião é nula,

$Δ \vec{Q} = {\vec{Q}}_{f i n a l} - {\vec{Q}}_{i n i c i a l} \Rightarrow$

$|Δ \vec{Q}| = |- {\vec{Q}}_{i n i c i a l}| = |{\vec{Q}}_{i n i c i a l}| = m \cdot v_{0} .$

Com isso, o impulso possui módulo, em unidades do SI, igual a

$I = m \cdot v_{0} = 2, 4 \cdot 10^{4} \cdot 15 \Rightarrow$

$I = 3, 6 \cdot 10^{5} N \cdot s .$

Tal valor não depende da consideração de o movimento ser uniformemente variado.

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Sistemas Não-Conservativos na Dinâmica Energia Potencial Gravitacional na Dinâmica

Uma das empresas norte-americanas que levou turistas em voo suborbital em 2021 utiliza uma cápsula, onde acomoda os passageiros, acoplada a um propulsor.Após o lançamento, quando o conjunto atinge a altura de 75 km e velocidade de 1000 m/s, a cápsula se desprende do propulsor e continua sua trajetória até a altura aproximada de 105 km. Em seguida, a cápsula retorna à superfície, amparada por paraquedas.

(aretestemfoundation.org. Adaptado.)

Considerando a aceleração da gravidade constante e igual a $10 m / s^{2}$ e a massa da cápsula igual a $4, 0 \times 10^{3} k g$ , calcule:

a) a energia cinética e a energia mecânica total da cápsula, em relação ao solo, no instante em que ocorre a sua separação do propulsor, ambas em joules.

b) o trabalho realizado pelo peso da cápsula, em joules, entre o momento em que ela se desprende do propulsor até o momento em que ela atinge o ponto mais alto da trajetória. Determine o trabalho realizado pelas forças de resistência que atuaram sobre a cápsula, em joules, desde a altura máxima até o seu pouso, desprezando a energia cinética da cápsula na altura máxima e no instante do pouso.

Resolução

a) No ponto de separação do propulsor, a velocidade da cápsula (de massa $m = 4 \cdot 10^{3} k g$ ) é $v = 1000 m / s$ , sua altura é

$h = 75 k m = 75.000 m = 7, 5 \cdot 10^{4} m,$

e o campo gravitacional é $g = 10 m / s^{2}$ . A energia cinética da capsula é dada, em unidades do SI, por

$E_{c i n} = \frac{m \cdot v^{2}}{2} = \frac{4 \cdot 10^{3} \cdot 1000^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{c i n} = 2 \cdot 10^{9} J .$

A energia mecânica é dada pela soma da energia cinética com a energia potencial (gravitacional, neste caso). Em relação ao solo, a energia potencial é dada, em unidades do SI, por

$E_{p o t} = m \cdot g \cdot h = 4 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 7, 5 \cdot 10^{4} \Rightarrow$

$E_{p o t} = 3 \cdot 10^{9} J .$

Com isso, a energia mecânica total será

$E_{m e c} = E_{c i n} + E_{p o t} = 2 \cdot 10^{9} + 3 \cdot 10^{9} \Rightarrow$

$E_{m e c} = 5 \cdot 10^{9} J .$

b) O trabalho $τ_{p e s o}$ da força peso é igual a $- Δ E_{p o t}$ , visto que quando ocorre ganho de energia potencial ( $Δ E_{p o t} > 0$ ) deve haver perda de energia cinética ( $Δ E_{c i n} < 0$ ). Portanto,

$τ_{p e s o} = - Δ E_{p o t} = - (E_{p o t, f i n a l} - E_{p o t, i n i c i a l}) \Rightarrow$

$τ_{p e s o} = - (m \cdot g \cdot h_{f i n a l} - m \cdot g \cdot h_{i n i c i a l}) = m \cdot g \cdot (h_{i n i c i a l} - h_{f i n a l}) .$

Sendo conhecida a massa, o campo gravitacional, a altura final

$h_{f i n a l} = 105 k m = 105.000 m = 10, 5 \cdot 10^{4} m,$

e a altura inicial $h_{i n i c i a l} = 7, 5 \cdot 10^{4} m$ , obtemos em unidades do SI:

$τ_{p e s o} = 4 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot (7, 5 \cdot 10^{4} - 10, 5 \cdot 10^{4}) \Rightarrow$

$τ_{p e s o} = - 1, 2 \cdot 10^{9} J .$

Se não considerarmos a energia cinética da cápsula no ponto mais alto da trajetória (início da queda) e instantes antes de atingir o solo (fim da queda), então o trabalho realizado pela força de resistência corresponde à variação da energia potencial gravitacional entre estes dois pontos. Com isso,

$τ_{r e s i s t} = Δ E_{p o t} = E_{p o t, s o l o} - E_{p o t, m á x i m o} \Rightarrow$

$τ_{r e s i s t} = m \cdot g \cdot h_{s o l o} - m \cdot g \cdot h_{m á x i m o} = m \cdot g \cdot (h_{s o l o} - h_{m á x i m o}) .$

Sabendo que $h_{s o l o} = 0$ (referência) e $h_{m á x i m o} = 10, 5 \cdot 10^{4} m$ , temos, em unidades do SI:

$τ_{r e s i s t} = 4 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot (0 - 10, 5 \cdot 10^{4}) \Rightarrow$

$τ_{r e s i s t} = - 4, 2 \cdot 10^{9} J .$

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Dilatação Aparente Calor Específico

Em um recipiente de vidro de capacidade $250 c m^{3}$ , são colocados $200 c m^{3}$ de glicerina, ambos inicialmente a $20 ° C$ . Em seguida, esse conjunto é aquecido até $70 ° C$ .

a) Calcule a massa de glicerina, em gramas, colocada no recipiente e a quantidade de calor, em calorias, absorvida pela glicerina durante o aquecimento, desprezando as perdas de calor e sabendo que a massa específica e o calor específico da glicerina são, respectivamente, $1, 26 g / c m^{3}$ e $0, 60 c a l / (g ° C)$ .

b) Calcule, em $c m^{3}$ , o aumento do volume da glicerina durante o aquecimento e o volume da região do recipiente não ocupada pela glicerina quando o conjunto encontra-se a $70 ° C$ , considerando que, devido ao aquecimento, o recipiente tenha se dilatado $0, 30 c m^{3}$ e que o coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina seja igual a $5, 0 \times 10^{- 4} ° C^{- 1}$ .

Resolução

a) Considerando o volume de glicerina $V = 200 c m^{3}$ e sua densidade $d = 1, 26 g / c m^{3}$ , a massa de glicerina é

$d = \frac{m}{V} \Rightarrow m = d \cdot V \Rightarrow$

$m = (1, 26 \frac{g}{c m^{3}}) \cdot (200 c m^{3}) \Rightarrow$

$m = 252 g .$

A quantidade de calor absorvida pela glicerina em seu aquecimento de 20ºC (temperatura inicial) a 50ºC (temperatura final), dado que seu calor específico sensível é $c = 0, 6 c a l / (g \cdot ° C)$ , é

$Q = m \cdot c \cdot Δ θ \Rightarrow$

$Q = (252 g) \cdot (0, 6 \frac{c a l}{g \cdot ° C}) \cdot (70 º C - 20 ° C) \Rightarrow$

$Q = 252 \cdot 0, 6 \cdot 50 c a l \Rightarrow Q = 7560 c a l .$

b) O aumento de volume da glicerina no aquecimento é dado por

$Δ V = V \cdot γ \cdot Δ θ,$

onde $V = 200 c m^{3}$ é o volume inicial, $γ = 5 \cdot 10^{- 4} ° C^{- 1}$ é o coeficiente volumétrico de dilatação, e $Δ θ = 50 ° C$ é a variação de temperatura (assim como no item anterior). Substituindo os valores:

$Δ V = (200 c m^{3}) \cdot (5 \cdot 10^{- 4} ° C^{- 1}) \cdot (50 ° C) \Rightarrow$

$Δ V = 200 \cdot 5 \cdot 10^{- 4} \cdot 50 c m^{3} \Rightarrow$

$Δ V = 5 c m^{3} .$

Temos, então, que o volume final de glicerina é

$V_{g l} = V + Δ V = 200 + 5 = 205 c m^{3} .$

Por outro lado, o volume final do recipiente de vidro, de volume inicial $250 c m^{3}$ e que se dilata $0, 3 c m^{3}$ , é de

$V_{r e c} = 250 + 0, 3 = 250, 3 c m^{3} .$

Com isso, o volume vazio do recipiente é de

$V_{v a z i o} = V_{r e c} - V_{g l} = 250, 3 - 205 \Rightarrow$

$V_{v a z i o} = 45, 3 c m^{3} .$

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Tubos sonoros Equação fundamental da ondulatória Nível sonoro

A figura 1 mostra um instrumento musical constituído por vários tubos, abertos em uma extremidade e fechados na outra, colocados lado a lado, e a figura 2 mostra a forma da onda sonora estacionária que corresponde à frequência fundamental de vibração desses tubos.

(www.instrumentosnativos.com.br)

a) Considerando que a velocidade de propagação das ondas sonoras no ar seja 340 m/s e que a frequência fundamental da onda emitida por um dos tubos desse instrumento seja 170 Hz, calcule, em metros, o comprimento de onda dessa onda e o comprimento desse tubo.

b) A intensidade sonora (I) exprime a quantidade média de energia transportada por uma onda sonora (ΔE) através de uma unidade de área (ΔS) perpendicular à direção de propagação da onda, por unidade de tempo $(∆ t) : I = \frac{∆ E}{∆ S \cdot ∆ t}$ .

O nível sonoro (β) indica a intensidade do som percebido pelo sistema auditivo humano e é definido, quando medido em dB, como $β = 10 \log I / I_{0}$ , sendo $I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}$ .

Supondo que a superfície da membrana timpânica de uma pessoa seja perpendicular à direção de propagação das ondas sonoras e tenha área de $6, 0 \times 10^{- 5} m^{2}$ , calcule a quantidade de energia, em joules, que atinge essa membrana, em um segundo, quando essa pessoa ouve um som de nível sonoro igual a 60 dB.

Resolução

a) Utilizando a equação fundamental da ondulatória, sendo conhecida a frequência $f = 170 H z$ e a velocidade do som $v = 340 m / s$ :

$v = λ \cdot f \Rightarrow$

$340 = λ \cdot 170 \Rightarrow$

$λ = 2 m .$

Para a frequência do harmônico fundamental, o comprimento do tubo aberto corresponde a um quarto de um comprimento de onda, tal como a figura abaixo ilustra.

Portanto, sendo $L$ o comprimento deste tubo,

$L = \frac{λ}{4} = \frac{2}{4} \Rightarrow L = 0, 5 m .$

b) De acordo com o enunciado, o nível sonoro de um som pode ser calculado, em dB, pela equação

$β = 10 \cdot l o g \frac{I}{10^{- 12}} .$

Dado que o nível sonoro do som ouvido pela pessoa é $β = 60 d B$ , temos

$60 = 10 \cdot l o g \frac{I}{10^{- 12}} \Rightarrow l o g \frac{I}{10^{- 12}} = 6 \Rightarrow$

$\frac{I}{10^{- 12}} = 10^{6} \Rightarrow I = 10^{- 6} W / m^{2} .$

Também de acordo com o enunciado,

$I = \frac{Δ E}{Δ S \cdot Δ t}$

Portanto a energia que incide sobre a membrana timpânica de área $Δ S = 6 \cdot 10^{- 5} m^{2}$ no intervalo de tempo $∆ t = 1 s$ pode ser calculada da seguinte forma:

$Δ E = I \cdot Δ S \cdot Δ t \Rightarrow$

$Δ E = (10^{- 6} \frac{W}{m^{2}}) \cdot (6 \cdot 10^{- 5} m^{2}) \cdot (1 s) \Rightarrow$

$Δ E = 6 \cdot 10^{- 11} J .$

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Associação de Resistores Geradores Elétricos Potência Elétrica

Um circuito elétrico é composto por uma bateria, de força eletromotriz $ε$ e resistência interna $R_{i}$ , e por três resistores, $R_{1}$ , $R_{2}$ e $R_{3}$ , como ilustrado na figura.

A intensidade da corrente elétrica que se estabelece no resistor $R_{1}$ é igual a 0,25 A.

a) Considerando a resistência elétrica dos resistores $R_{2}$ e $R_{3}$ respectivamente iguais a 200 Ω e 50 Ω, calcule a diferença de potencial, em volts, entre os terminais do resistor $R_{3}$ e determine a intensidade da corrente elétrica, em amperes, que nele se estabelece.

b) Sabendo que a força eletromotriz da bateria é 12,0 V e que a diferença de potencial entre os pontos A e B, indicados na figura, é de 11,9 V, calcule o valor da resistência interna da bateria, em ohms, e determine a potência dissipada na forma de calor, em watts, pela bateria.

Resolução

a) A resistência equivalente da associação de R₂ e R₃ em paralelo é dada por

$R_{23} = \frac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{2} + R_{3}} = \frac{200 \cdot 50}{200 + 50} = 40 Ω .$

Como se trata de uma associação em paralelo, a ddp sobre cada resistor é igual à tensão aplicada sobre a associação. Dessa forma,

$U_{3} = U_{23} = R_{23} \cdot i \Rightarrow$

$U_{3} = 40 \cdot 0, 25 \Rightarrow U_{3} = 10 V .$

A intensidade da corrente que se estabelece em R₃ é dada por

$i_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = \frac{10}{50} \Rightarrow i_{3} = 0, 2 A .$

A diferença de potencial entre os terminais do resistor R₃ é igual a $10 V$ e a intensidade da corrente que percorre esse resistor é $0, 2 A$ .

b) A ddp U nos terminais de um gerador real, com força eletromotriz $ε$ e resistência interna $r$ , percorrido por uma corrente elétrica de intensidade $i$ , é dada por

$U = ε - r \cdot i .$

Conhecemos a ddp entre A e B $U = 11, 9 V$ , a força eletromotriz da bateria $ε = 12 V$ , e a corrente elétrica $i = 0, 25 A$ , igual à corrente elétrica de R₁, visto que estão em série. Substituindo estes valores:

$11, 9 = 12 - r \cdot 0, 25 \Rightarrow$

$r = \frac{12 - 11, 9}{0, 25} = \frac{0, 1}{0, 25} \Rightarrow r = 0, 4 Ω .$

A potência dissipada pelo gerador é dada por

$P_{d i s s i p} = r \cdot i^{2} \Rightarrow$

$P_{d i s s i p} = 0, 4 \cdot 0, 25^{2} \Rightarrow P_{d i s s i p} = 25 \cdot 10^{- 3} W .$

O valor da resistência interna da bateria é $0, 4 Ω$ e a potência dissipada pela bateria na forma de calor é igual a $25 m W$ .