Questão 2 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Sistemas Não-Conservativos na Dinâmica Energia Potencial Gravitacional na Dinâmica

Uma das empresas norte-americanas que levou turistas em voo suborbital em 2021 utiliza uma cápsula, onde acomoda os passageiros, acoplada a um propulsor.Após o lançamento, quando o conjunto atinge a altura de 75 km e velocidade de 1000 m/s, a cápsula se desprende do propulsor e continua sua trajetória até a altura aproximada de 105 km. Em seguida, a cápsula retorna à superfície, amparada por paraquedas.

(aretestemfoundation.org. Adaptado.)

Considerando a aceleração da gravidade constante e igual a $10 m / s^{2}$ e a massa da cápsula igual a $4, 0 \times 10^{3} k g$ , calcule:

a) a energia cinética e a energia mecânica total da cápsula, em relação ao solo, no instante em que ocorre a sua separação do propulsor, ambas em joules.

b) o trabalho realizado pelo peso da cápsula, em joules, entre o momento em que ela se desprende do propulsor até o momento em que ela atinge o ponto mais alto da trajetória. Determine o trabalho realizado pelas forças de resistência que atuaram sobre a cápsula, em joules, desde a altura máxima até o seu pouso, desprezando a energia cinética da cápsula na altura máxima e no instante do pouso.

Resolução

a) No ponto de separação do propulsor, a velocidade da cápsula (de massa $m = 4 \cdot 10^{3} k g$ ) é $v = 1000 m / s$ , sua altura é

$h = 75 k m = 75.000 m = 7, 5 \cdot 10^{4} m,$

e o campo gravitacional é $g = 10 m / s^{2}$ . A energia cinética da capsula é dada, em unidades do SI, por

$E_{c i n} = \frac{m \cdot v^{2}}{2} = \frac{4 \cdot 10^{3} \cdot 1000^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{c i n} = 2 \cdot 10^{9} J .$

A energia mecânica é dada pela soma da energia cinética com a energia potencial (gravitacional, neste caso). Em relação ao solo, a energia potencial é dada, em unidades do SI, por

$E_{p o t} = m \cdot g \cdot h = 4 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 7, 5 \cdot 10^{4} \Rightarrow$

$E_{p o t} = 3 \cdot 10^{9} J .$

Com isso, a energia mecânica total será

$E_{m e c} = E_{c i n} + E_{p o t} = 2 \cdot 10^{9} + 3 \cdot 10^{9} \Rightarrow$

$E_{m e c} = 5 \cdot 10^{9} J .$

b) O trabalho $τ_{p e s o}$ da força peso é igual a $- Δ E_{p o t}$ , visto que quando ocorre ganho de energia potencial ( $Δ E_{p o t} > 0$ ) deve haver perda de energia cinética ( $Δ E_{c i n} < 0$ ). Portanto,

$τ_{p e s o} = - Δ E_{p o t} = - (E_{p o t, f i n a l} - E_{p o t, i n i c i a l}) \Rightarrow$

$τ_{p e s o} = - (m \cdot g \cdot h_{f i n a l} - m \cdot g \cdot h_{i n i c i a l}) = m \cdot g \cdot (h_{i n i c i a l} - h_{f i n a l}) .$

Sendo conhecida a massa, o campo gravitacional, a altura final

$h_{f i n a l} = 105 k m = 105.000 m = 10, 5 \cdot 10^{4} m,$

e a altura inicial $h_{i n i c i a l} = 7, 5 \cdot 10^{4} m$ , obtemos em unidades do SI:

$τ_{p e s o} = 4 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot (7, 5 \cdot 10^{4} - 10, 5 \cdot 10^{4}) \Rightarrow$

$τ_{p e s o} = - 1, 2 \cdot 10^{9} J .$

Se não considerarmos a energia cinética da cápsula no ponto mais alto da trajetória (início da queda) e instantes antes de atingir o solo (fim da queda), então o trabalho realizado pela força de resistência corresponde à variação da energia potencial gravitacional entre estes dois pontos. Com isso,

$τ_{r e s i s t} = Δ E_{p o t} = E_{p o t, s o l o} - E_{p o t, m á x i m o} \Rightarrow$

$τ_{r e s i s t} = m \cdot g \cdot h_{s o l o} - m \cdot g \cdot h_{m á x i m o} = m \cdot g \cdot (h_{s o l o} - h_{m á x i m o}) .$

Sabendo que $h_{s o l o} = 0$ (referência) e $h_{m á x i m o} = 10, 5 \cdot 10^{4} m$ , temos, em unidades do SI:

$τ_{r e s i s t} = 4 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot (0 - 10, 5 \cdot 10^{4}) \Rightarrow$

$τ_{r e s i s t} = - 4, 2 \cdot 10^{9} J .$