Unifesp 2º dia

a) Observe a figura abaixo.

Tomando M o ponto médio da corda $\overline{PQ}$, ao ligarmos M com o centro C da circunferência encontramos um ângulo reto. Este resultado é obtido através da congruência entre os triângulos PCM e QCM. Sendo assim, tomando o triângulo QCM, conforme a imagem abaixo, temos:

Pelo teorema de Pitágoras,

$r^2=d^2+{\left(MQ\right)}^2\iff r^2=3^2+{\left(\frac{8}{2}\right)}^2\iff r^2=9+16\Rightarrow r=5 \text{cm}$

Assim, a área do círculo é:

$S_c=\mathrm{\pi }·5^2\iff \boxed{{\mathrm{S}}_{\mathrm{c}}=25\mathrm{\pi }{\text{ cm}}^2}$

b) Analogamente ao item anterior, tomando N o ponto médio da corda $\overline{RS}$obtemos dois triângulos retângulos, conforme a imagem abaixo.

Pelo teorema de Pitágoras nos triângulos MQC e NSC, temos:

$\left\{\begin{array}{l}C{Q}^2=M{C}^2+M{Q}^2\\ C{S}^2=C{N}^2+N{S}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{r}^2=d^2+4^2\\ r^2={\left(4-d\right)}^2+3^2\end{array}\right.$

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

$r^2-r^2=d^2-{\left(4-d\right)}^2+4^2-3^2\iff 0=\cancel{d^2}-\left(\bcancel{16}-8d+\cancel{d^2}\right)+\bcancel{16}-9\iff 8d=9\iff d=\frac{9}{8}$

Substituindo d na primeira equação, segue que:

$r^2=d^2+4^2\iff r^2={\left(\frac{9}{8}\right)}^2+16\iff r^2=\frac{81}{64}+16\iff r^2=\frac{81+1024}{64}\Rightarrow \boxed{r=\frac{\sqrt{1105}}{8} \text{cm}}$

a) Observe que a reta s passa pelos pontos $\left(2,4\right)$ e $\left(-10,0\right)$, sendo assim, seu coeficiente angular $m_s$ é calculado por:

$m_s=\frac{∆y}{∆x}\iff m_s=\frac{4-0}{2-\left(-10\right)}\iff m_s=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Deste modo, a equação da reta s é:

$s: y-y_0=m_s·\left(x-x_0\right)\iff y-0=\frac{1}{3}·\left(x-\left(-10\right)\right)\iff \boxed{y=\frac{x}{3}+\frac{10}{3}}$

b) Observe o desenho das retas r e s, bem como os ângulos formados por essas retas e o eixo das abscissas.

Como observado pelo item anterior, o coeficiente angular da reta s é $m_s=\frac{1}{3}$, ou seja:

$\mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\frac{1}{3}$

Além disso, podemos observar pelo teorema dos ângulos externos de um triângulo que:

$\alpha +30º=\theta \iff \mathrm{tg}\left(\alpha +30º\right)=\mathrm{tg}\left(\theta \right)=m_r$

Assim, o coeficiente angular da reta r é dado por:

$m_r=\mathrm{tg}\left(\alpha +30º\right)\iff m_r=\frac{\mathrm{tg}\left(\alpha \right)+\mathrm{tg}\left(30º\right)}{1-\mathrm{tg}\left(\alpha \right)·\mathrm{tg}\left(30º\right)}\iff m_r=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}\iff$

$m_r=\frac{{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{3}}}{{\displaystyle \frac{9-\sqrt{3}}{9}}}\iff m_r=\frac{3·\left(1+\sqrt{3}\right)}{9-\sqrt{3}}$

Racionalizando, segue que:

$m_r=\frac{3·\left(1+\sqrt{3}\right)}{9-\sqrt{3}}·\frac{\left(9+\sqrt{3}\right)}{\left(9+\sqrt{3}\right)}\iff m_r=\frac{3·\left(9+9\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\right)}{81-3}\iff$

$m_r=\frac{3·\left(12+10\sqrt{3}\right)}{78}\iff m_r=\frac{12+10\sqrt{3}}{26}\iff m_r=\frac{6+5\sqrt{3}}{13}$

Deste modo, a equação da reta r é:

$y-y_0=m_r·\left(x-x_0\right)\iff y-4=\left(\frac{6+5\sqrt{3}}{13}\right)·\left(x-2\right)\iff y=\left(\frac{6+5\sqrt{3}}{13}\right)·\left(x-2\right)+4$

Como n é o coeficiente linear da reta r, então ele é obtido através do ponto de abscissa igual a 0. Substituindo $\left(0,n\right)$ na equação, temos:

$n=\left(\frac{6+5\sqrt{3}}{13}\right)·\left(0-2\right)+4\iff n=-2·\left(\frac{6+5\sqrt{3}}{13}\right)+4\iff n=\frac{-12-10\sqrt{3}+52}{13}\iff$

$n=\frac{40-10\sqrt{3}}{13}\iff \boxed{n=\frac{10}{13}·\left(4-\sqrt{3}\right)}$

a) Ao somar os valores referentes a cada um dos itens que compõem o preço da gasolina, devemos obter o total de $\text{R\$} 6,00$. Assim,

$X+2,028+0,588+1,668+0,684 = 6,00\iff X+4,968 = 6,00\iff$

$X = \text{R\$} 1,032$

O candidato também poderia utilizar a porcentagem do custo do etanol dada na imagem.

$X=0,172·6=1,032$

Para calcular $Y$ devemos primeiramente calcular a porcentagem do preço da gasolina que corresponde aos Tributos estaduais (ICMS), a qual não foi fornecida explicitamente.

Tal porcentagem é

$$\begin{gathered} p=\frac{1,668}{6,00}·100\% \\ p=27,8\% \end{gathered}$$

Portanto, ao somar todos os percentuais que compõem o preço da gasolina, obtemos $100$, ou seja,

$Y+17,2+33,8+9,8+27,8=100\iff$

$Y+88,6=100\iff Y = 11,4$

O candidato poderia, também, utilizar o preço dos tributos federais para calcular o valor de $Y$:

$Y=\frac{0,684}{6}·100=0,114·100=11,4$

b)  Sabendo que $27\%$ do volume da gasolina comum corresponde a etanol e que o custo do etanol em 1 litro de gasolina é $\text{R\$} 1,03$, o preço $P$ correspondente a 1 litro de etanol é

$P=\frac{1,03}{0,27} \iff P\cong \text{R\$} 3,81$

Note que o valor exato para $P$ seria $P=3,814814814...$, porém, nesse caso, devemos truncar o valor na segunda casa decimal.

Observamos então que o enunciado traz uma coleção com 27 moedas, das quais 4 são de $\text{R\$} 1,00$, 3 são de $\text{R\$} 0,50$, 2 são de $\text{R\$} 0,10$, 3 são de $\text{R\$} 0,05$ e as 15 restantes são de $\text{R\$} 0,01$.

Note que a soma dos valores das moedas com menos de $\text{R\$} 1,00$ é

$3·0,50+2·0,10+3·0,05+15·0,01 = \text{R\$} 2,00$

Sendo assim, para obter a soma de $\text{R\$}3,81$ é necessário utilizar, no mínimo, duas moedas de $\text{R\$} 1,00$ e, no máximo, 3 moedas de $\text{R\$} 1,00$.

Sendo assim, dadas as restrições de quantidades de moedas de cada tipo disponíveis, há 10 possibilidades de subcoleções para as quais a soma dos valores é $\text{R\$} 3,81$. Tais subcoleções estão listadas na tabela abaixo:

Observação: Para poder chamar tal coleção de moedas de conjunto, devemos enumerar as moedas idênticas como: Moeda 1 de $\text{R\$} 1,00$, Moeda 2 de $\text{R\$} 1,00$ e assim por diante, pois, na linguagem de conjuntos, dois elementos idênticos em um mesmo conjunto correspondem ao mesmo elemento. Além disso, o enunciado comete abuso de linguagem ao dizer que "a troca de moedas de mesmo valor não constitui novos subconjuntos", pois, na verdade, está se referindo a identificar subconjuntos que possuem as mesmas quantidades de cada tipo de moeda. Em suma, em um primeiro momento ele identifica cada uma das 27 moedas como elementos distintos de um conjunto, porém em seguida ele indica ao candidato que os subconjuntos formados trocando moedas de mesmo valor seriam idênticos, causando uma contradição e possivelmente uma confusão no candidato.

a) Como há um decrescimento de 4% ao ano, então a função $N\left(t\right)$ que determina a quantidade de fios de cabelo do homem em função do tempo t decorrido é expressa por:

$N\left(t\right)=100·{10}^3·{\left(1-4\%\right)}^t\iff \boxed{N\left(t\right)=100·{10}^3·{\left(0,96\right)}^t}$

Quando o homem completa 31 anos de idade, temos $t=1$. Ou seja,

$N\left(t\right)=100·{10}^3·{\left(0,96\right)}^t\iff N\left(1\right)=100·{10}^3·{\left(0,96\right)}^1\iff \boxed{N\left(1\right)=96·{10}^3}$

Portanto, o homem terá 96000 fios de cabelo ao completar 31 anos.

b) Utilizando a função obtida no item anterior, temos:

$\frac{100·{10}^3}{2}=100·{10}^3·{\left(0,96\right)}^t\iff \frac{1}{2}={\left(0,96\right)}^t$

Utilizando o logaritmo na base 10, seguimos com:

${\log }_{10}\left(\frac{1}{2}\right)={\log }_{10}{\left(0,96\right)}^t\iff {\log }_{10}{2}^{-1}=t·{\log }_{10}\left(\frac{2^5·3}{100}\right)\iff$

$-{\log }_{10}2=t·\left({\log }_{10}{2}^5+{\log }_{10}3-{\log }_{10}100\right)\iff$

$-{\log }_{10}2=t·\left(5·{\log }_{10}2+{\log }_{10}3-{\log }_{10}100\right)\iff$

$-0,3=t·\left(5·0,3+0,48-2\right)\iff -0,3=-0,02·t\iff t=15\text{ anos}$

Como a idade de início da contagem é aos 30 anos, então, a idade do homem será $\boxed{45 \mathrm{anos}}$.

a) Como o prisma $ABCTQP$ é regular, suas bases são triângulos equiláteros cuja medida dos lados é $12\text{ cm}$.

Lembrando que a área de um triângulo equilátero de lado $L$ é $\frac{L^2·\sqrt{3}}{4}$, temos que a soma das áreas das bases é

$$\begin{gathered} 2·S_{base} =2·\frac{{12}^2·\sqrt{3}}{4}\iff \\ \boxed{2·S_{base} =72\sqrt{3} {\text{cm}}^2} \end{gathered}$$

b) Como o prisma $ABCTQP$ é reto, suas faces laterais são retângulos. Logo, para calcular a área lateral, basta calcular a altura $h$ do prisma e multiplicar pelo perímetro da base.

Ora, pelo fato de se tratar de um prisma reto, sua altura corresponde à distância de qualquer par de segmentos homólogos nas bases. Seja $N$ o ponto médio de $\overline{AC}$. Temos que $NM=h$.

Note que o triângulo $BNM$ é retângulo em $N$. Como $BN$ é a altura de um triângulo equilátero de lado $12\text{ cm}$, segue que

$BN=\frac{12·\sqrt{3}}{2} \iff BN=6\sqrt{3} \text{cm}$

Então, pelo Teorema de Pitágoras, temos que

$h^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2={20}^2\iff h^2+108=400\iff h^2 = 292\iff h = 2\sqrt{73} \text{cm}$

Portanto, como o perímetro da base é $2p = 3·12 = 36 \text{cm}$, a área lateral do prisma $ABCTQP$ é

$$\begin{gathered} S_{lateral} = 2·\sqrt{73}·36\iff \\ \boxed{S_{lateral} = 72\sqrt{73} {\text{cm}}^2} \end{gathered}$$