Questão 3 Unifesp 2º dia

a) Ao somar os valores referentes a cada um dos itens que compõem o preço da gasolina, devemos obter o total de $\text{R\$} 6,00$. Assim,

$X+2,028+0,588+1,668+0,684 = 6,00\iff X+4,968 = 6,00\iff$

$X = \text{R\$} 1,032$

O candidato também poderia utilizar a porcentagem do custo do etanol dada na imagem.

$X=0,172·6=1,032$

Para calcular $Y$ devemos primeiramente calcular a porcentagem do preço da gasolina que corresponde aos Tributos estaduais (ICMS), a qual não foi fornecida explicitamente.

Tal porcentagem é

$$\begin{gathered} p=\frac{1,668}{6,00}·100\% \\ p=27,8\% \end{gathered}$$

Portanto, ao somar todos os percentuais que compõem o preço da gasolina, obtemos $100$, ou seja,

$Y+17,2+33,8+9,8+27,8=100\iff$

$Y+88,6=100\iff Y = 11,4$

O candidato poderia, também, utilizar o preço dos tributos federais para calcular o valor de $Y$:

$Y=\frac{0,684}{6}·100=0,114·100=11,4$

b)  Sabendo que $27\%$ do volume da gasolina comum corresponde a etanol e que o custo do etanol em 1 litro de gasolina é $\text{R\$} 1,03$, o preço $P$ correspondente a 1 litro de etanol é

$P=\frac{1,03}{0,27} \iff P\cong \text{R\$} 3,81$

Note que o valor exato para $P$ seria $P=3,814814814...$, porém, nesse caso, devemos truncar o valor na segunda casa decimal.

Observamos então que o enunciado traz uma coleção com 27 moedas, das quais 4 são de $\text{R\$} 1,00$, 3 são de $\text{R\$} 0,50$, 2 são de $\text{R\$} 0,10$, 3 são de $\text{R\$} 0,05$ e as 15 restantes são de $\text{R\$} 0,01$.

Note que a soma dos valores das moedas com menos de $\text{R\$} 1,00$ é

$3·0,50+2·0,10+3·0,05+15·0,01 = \text{R\$} 2,00$

Sendo assim, para obter a soma de $\text{R\$}3,81$ é necessário utilizar, no mínimo, duas moedas de $\text{R\$} 1,00$ e, no máximo, 3 moedas de $\text{R\$} 1,00$.

Sendo assim, dadas as restrições de quantidades de moedas de cada tipo disponíveis, há 10 possibilidades de subcoleções para as quais a soma dos valores é $\text{R\$} 3,81$. Tais subcoleções estão listadas na tabela abaixo:

Observação: Para poder chamar tal coleção de moedas de conjunto, devemos enumerar as moedas idênticas como: Moeda 1 de $\text{R\$} 1,00$, Moeda 2 de $\text{R\$} 1,00$ e assim por diante, pois, na linguagem de conjuntos, dois elementos idênticos em um mesmo conjunto correspondem ao mesmo elemento. Além disso, o enunciado comete abuso de linguagem ao dizer que "a troca de moedas de mesmo valor não constitui novos subconjuntos", pois, na verdade, está se referindo a identificar subconjuntos que possuem as mesmas quantidades de cada tipo de moeda. Em suma, em um primeiro momento ele identifica cada uma das 27 moedas como elementos distintos de um conjunto, porém em seguida ele indica ao candidato que os subconjuntos formados trocando moedas de mesmo valor seriam idênticos, causando uma contradição e possivelmente uma confusão no candidato.