Questão 5 Unifesp 2º dia

a) Como o prisma $ABCTQP$ é regular, suas bases são triângulos equiláteros cuja medida dos lados é $12\text{ cm}$.

Lembrando que a área de um triângulo equilátero de lado $L$ é $\frac{L^2·\sqrt{3}}{4}$, temos que a soma das áreas das bases é

$$\begin{gathered} 2·S_{base} =2·\frac{{12}^2·\sqrt{3}}{4}\iff \\ \boxed{2·S_{base} =72\sqrt{3} {\text{cm}}^2} \end{gathered}$$

b) Como o prisma $ABCTQP$ é reto, suas faces laterais são retângulos. Logo, para calcular a área lateral, basta calcular a altura $h$ do prisma e multiplicar pelo perímetro da base.

Ora, pelo fato de se tratar de um prisma reto, sua altura corresponde à distância de qualquer par de segmentos homólogos nas bases. Seja $N$ o ponto médio de $\overline{AC}$. Temos que $NM=h$.

Note que o triângulo $BNM$ é retângulo em $N$. Como $BN$ é a altura de um triângulo equilátero de lado $12\text{ cm}$, segue que

$BN=\frac{12·\sqrt{3}}{2} \iff BN=6\sqrt{3} \text{cm}$

Então, pelo Teorema de Pitágoras, temos que

$h^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2={20}^2\iff h^2+108=400\iff h^2 = 292\iff h = 2\sqrt{73} \text{cm}$

Portanto, como o perímetro da base é $2p = 3·12 = 36 \text{cm}$, a área lateral do prisma $ABCTQP$ é

$$\begin{gathered} S_{lateral} = 2·\sqrt{73}·36\iff \\ \boxed{S_{lateral} = 72\sqrt{73} {\text{cm}}^2} \end{gathered}$$