Questão 2 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Ângulo entre retas Estudo Analítico da Reta

No plano cartesiano de eixos ortogonais, as retas r e s se intersectam no ponto de coordenadas $(2, 4)$ e formam um ângulo de 30º entre si, como indica a figura. Sabe-se, ainda, que a reta s intersecta o eixo x no ponto de coordenadas $(- 10, 0)$ e a reta r intersecta o eixo y no ponto de coordenadas $(0, n)$ .

a) Determine a equação da reta s.

b) Determine o valor numérico de n.

Resolução

a) Observe que a reta s passa pelos pontos $(2, 4)$ e $(- 10, 0)$ , sendo assim, seu coeficiente angular $m_{s}$ é calculado por:

$m_{s} = \frac{∆ y}{∆ x} \Leftrightarrow m_{s} = \frac{4 - 0}{2 - (- 10)} \Leftrightarrow m_{s} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Deste modo, a equação da reta s é:

$s : y - y_{0} = m_{s} \cdot (x - x_{0}) \Leftrightarrow y - 0 = \frac{1}{3} \cdot (x - (- 10)) \Leftrightarrow y = \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

b) Observe o desenho das retas r e s, bem como os ângulos formados por essas retas e o eixo das abscissas.

Como observado pelo item anterior, o coeficiente angular da reta s é $m_{s} = \frac{1}{3}$ , ou seja:

$tg (α) = \frac{1}{3}$

Além disso, podemos observar pelo teorema dos ângulos externos de um triângulo que:

$α + 30 º = θ \Leftrightarrow tg (α + 30 º) = tg (θ) = m_{r}$

Assim, o coeficiente angular da reta r é dado por:

$m_{r} = tg (α + 30 º) \Leftrightarrow m_{r} = \frac{tg (α) + tg (30 º)}{1 - tg (α) \cdot tg (30 º)} \Leftrightarrow m_{r} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \Leftrightarrow$

$m_{r} = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - \sqrt{3}}{9}} \Leftrightarrow m_{r} = \frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{9 - \sqrt{3}}$

Racionalizando, segue que:

$m_{r} = \frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{9 - \sqrt{3}} \cdot \frac{(9 + \sqrt{3})}{(9 + \sqrt{3})} \Leftrightarrow m_{r} = \frac{3 \cdot (9 + 9 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3)}{81 - 3} \Leftrightarrow$

$m_{r} = \frac{3 \cdot (12 + 10 \sqrt{3})}{78} \Leftrightarrow m_{r} = \frac{12 + 10 \sqrt{3}}{26} \Leftrightarrow m_{r} = \frac{6 + 5 \sqrt{3}}{13}$

Deste modo, a equação da reta r é:

$y - y_{0} = m_{r} \cdot (x - x_{0}) \Leftrightarrow y - 4 = (\frac{6 + 5 \sqrt{3}}{13}) \cdot (x - 2) \Leftrightarrow y = (\frac{6 + 5 \sqrt{3}}{13}) \cdot (x - 2) + 4$

Como n é o coeficiente linear da reta r, então ele é obtido através do ponto de abscissa igual a 0. Substituindo $(0, n)$ na equação, temos:

$n = (\frac{6 + 5 \sqrt{3}}{13}) \cdot (0 - 2) + 4 \Leftrightarrow n = - 2 \cdot (\frac{6 + 5 \sqrt{3}}{13}) + 4 \Leftrightarrow n = \frac{- 12 - 10 \sqrt{3} + 52}{13} \Leftrightarrow$

$n = \frac{40 - 10 \sqrt{3}}{13} \Leftrightarrow n = \frac{10}{13} \cdot (4 - \sqrt{3})$