Questão 1 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Circunferência Teorema de Pitágoras

A figura representa um círculo de centro C com duas cordas paralelas, $\bar{P Q} e \bar{R S}$ , cujas medidas são $P Q = 8 c m$ e $R S = 6 c m$ . A distância entre C e a corda $\bar{P Q}$ é igual a d cm.

a) Calcule a área do círculo para o caso em que d = 3 cm.

b) Calcule a medida do raio da circunferência para o caso em que a distância entre $\bar{P Q} e \bar{R S}$ seja de 4 cm.

Resolução

a) Observe a figura abaixo.

Tomando M o ponto médio da corda $P Q$ , ao ligarmos M com o centro C da circunferência encontramos um ângulo reto. Este resultado é obtido através da congruência entre os triângulos PCM e QCM. Sendo assim, tomando o triângulo QCM, conforme a imagem abaixo, temos:

Pelo teorema de Pitágoras,

$r^{2} = d^{2} + {(M Q)}^{2} \Leftrightarrow r^{2} = 3^{2} + {(\frac{8}{2})}^{2} \Leftrightarrow r^{2} = 9 + 16 \Rightarrow r = 5 cm$

Assim, a área do círculo é:

$S_{c} = π \cdot 5^{2} \Leftrightarrow S_{c} = 25 π {cm}^{2}$

b) Analogamente ao item anterior, tomando N o ponto médio da corda $R S$ obtemos dois triângulos retângulos, conforme a imagem abaixo.

Pelo teorema de Pitágoras nos triângulos MQC e NSC, temos:

$\{\begin{cases} C Q^{2} = M C^{2} + M Q^{2} \\ C S^{2} = C N^{2} + N S^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} r^{2} = d^{2} + 4^{2} \\ r^{2} = {(4 - d)}^{2} + 3^{2} \end{cases}$

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

$r^{2} - r^{2} = d^{2} - {(4 - d)}^{2} + 4^{2} - 3^{2} \Leftrightarrow 0 = d^{2} - (16 - 8 d + d^{2}) + 16 - 9 \Leftrightarrow 8 d = 9 \Leftrightarrow d = \frac{9}{8}$

Substituindo d na primeira equação, segue que:

$r^{2} = d^{2} + 4^{2} \Leftrightarrow r^{2} = {(\frac{9}{8})}^{2} + 16 \Leftrightarrow r^{2} = \frac{81}{64} + 16 \Leftrightarrow r^{2} = \frac{81 + 1024}{64} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{1105}}{8} cm$