Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Dinâmica do Movimento Circular Potência Elétrica Associação de Resistores

O órgão Hammond, instrumento eletromecânico inventado por Laurens Hammond e John Hanert em 1935, como alternativa aos órgãos de tubos em igrejas, rapidamente tornou-se popular entre músicos de jazz e de outros gêneros musicais. O funcionamento do instrumento é baseado num conjunto de rodas fônicas (discos metálicos com dentes magnetizados) que giram próximas a bobinas eletromagnéticas (sensores), conforme a figura A. À medida que os dentes passam em frente ao sensor, o fluxo magnético através da bobina varia, dando origem a uma corrente elétrica que oscila com um período correspondente à passagem de cada dente. Essa corrente elétrica é então amplificada e alimenta os alto-falantes.

a) Se a roda fônica da nota Lá, de frequência $f = 220 Hz$ , possui 8 dentes e tem um raio $R = 3, 0 cm$ , qual é o módulo da velocidade linear de um ponto na extremidade de um dente?

b) Uma fonte contínua de força eletromotriz $ε = 24 V$ e resistência interna $r_{i n t}$ alimenta um amplificador de áudio. A figura B apresenta um circuito com a fonte e sua resistência interna ligadas à resistência $R_{L} = 8, 0 Ω$ , equivalente ao circuito do amplificador. Se a queda de tensão em $r_{i n t}$ é igual a $U_{i n t} = 4, 0 V$ , qual é a potência $P_{L}$ dissipada por $R_{L}$ ?

Resolução

a) A frequência da nota musical é gerada pela oscilação correspondente à passagem de cada dente na frente do sensor. Como a frequência da nota Lá é 220 Hz, dois dentes consecutivos tem essa mesma frequência, para completar um ciclo é necessário passar os oito dentes:

$T_{d} = \frac{1}{f_{l á}} \Rightarrow$

$T_{d} = \frac{1}{220} s .$

O período da roda será oito vezes o período entre dois dentes, pois é o tempo para completar um ciclo.

$T = 8 \cdot T_{d} \Rightarrow$

$T = 8 \cdot \frac{1}{220} .$

Com isso a frequência da roda será

$f_{r} = \frac{220}{8} \Rightarrow$

$f = 27, 5 Hz .$

Determinado a frequência da roda, a velocidade do movimento circular é dada por:

$v = ω \cdot R$ , onde $ω = 2 π \cdot f$ .

Portanto:

$v = 2 π \cdot f \cdot R \Rightarrow$

$v = 2 \cdot 3 \cdot 27, 5 \cdot 3 \cdot 10^{- 2} \Rightarrow$

$v = 4, 95 m / s .$

b) As resistências $r_{i n t}$ e $R_{L}$ estão associadas em série, logo a queda de tensão da associação é igual a tensão elétrica total do circuito.

$ε = U_{r_{i n t}} + U_{R_{L}} \Rightarrow$

$24 = 4 + U_{R_{L}} \Rightarrow$

$U_{R_{L}} = 20 V .$

A potência dissipada no resistor é dada por:

$P = \frac{U^{2}}{R} \Rightarrow$

$P_{L} = \frac{20^{2}}{8} \Rightarrow$

$P_{L} = 50 W .$

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Força Variável no Impulso Impulso e Quantidade de Movimento Energia na Mecânica

Recentemente, cientistas internacionais realizaram um estudo sobre as opções para evitar um possível impacto de um asteroide com a Terra e estimaram que o tempo mínimo de antecedência do início das ações para impedir a colisão é de cinco anos.

a) Considere um asteroide de massa $M = 3, 0 \times 10^{15} kg$ (comparável com a massa do asteroide que supostamente colidiu com a Terra e causou a extinção dos dinossauros) se deslocando em direção à Terra com uma quantidade de movimento de módulo $|\vec{Q_{i}}| = 1, 2 \times 10^{20} N \cdot s$ . Na tentativa de evitar o impacto, pretende-se lançar um míssil da Terra em direção ao asteroide de modo que, com o choque, seja gerado um impulso que altere a velocidade do asteroide (em módulo ou direção). Suponha que essa operação ocorra com sucesso, reduzindo o módulo da velocidade de deslocamento do asteroide pela metade. Desprezando a variação da massa do asteroide durante a operação, calcule a variação da energia cinética do asteroide como resultado da operação.

b) Considere agora um outro asteroide que sofre, de fato, um impacto com a Terra. Considere também que o módulo da força de impacto da superfície da Terra agindo sobre o asteroide varie em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo. Calcule o módulo do impulso que agiu sobre o asteroide durante a colisão com a Terra.

Resolução

a) A energia cinética é dada por $E = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ , de forma que, reduzir a velocidade pela metade implica na redução da energia por um fator 4. Ou seja, a energia do asteróide após o impacto representa 1/4 da energia do asteróide antes do impacto.

Desta forma, a variação de energia cinético do asteróide é dada por

$∆ E = E_{d e p o i s} - E_{a n t e s} \Rightarrow$

$∆ E = \frac{1}{4} \cdot E_{a n t e s} - E_{a n t e s} \Rightarrow$

$∆ E = - \frac{3}{4} \cdot E_{a n t e s}$ (1)

Além disso, podemos calcular a energia cinética do asteróide em termos de sua quantidade de movimento, sendo

$E_{c} = \frac{Q^{2}}{2 \cdot m}$ (2)

Substituindo (2) em (1) obtemos

$∆ E = - \frac{3}{4} \cdot \frac{Q_{a n t e s}^{2}}{2 \cdot m} \Rightarrow$

$∆ E = - \frac{3}{4} \cdot \frac{{(1, 2 \cdot 10^{20})}^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 10^{15}} \Rightarrow$

$∆ E = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1, 44 \cdot 10^{40}}{2 \cdot 10^{15}} \Rightarrow$

$∆ E = - 1, 8 \cdot 10^{24} J .$

RESOLUÇÃO ALTERNATIVA:

Lembrando que a energia cinética é calculada pela relação:

$E = \frac{M \cdot v^{2}}{2}$ (I)

e a quantidade de movimento, em módulo, por

$Q = M \cdot v$ . (II)

Com os dados do enunciado ( $Q_{i} = 1, 2 \cdot 10^{20} N \cdot s$ e $M = 3, 0 \cdot 10^{15} kg$ ) e com a segunda equação, podemos determinar a velocidade inicial do asteroide:

$Q_{i} = M \cdot v_{i} \Rightarrow$

$1, 2 \cdot 10^{20} = 3, 0 \cdot 10^{15} \cdot v_{i} \Rightarrow$

$v_{i} = 4 \cdot 10^{4} m / s .$

Como a velocidade final será metade da inicial, conforme afirma o enunciado, temos que $v_{f} = 2 \cdot 10^{4} m / s .$

Agora, com a equação (I), determinamos a variação de energia cinética:

$Δ E_{c i n} = \frac{M \cdot {v_{f}}^{2}}{2} - \frac{M \cdot {v_{i}}^{2}}{2} = \frac{M}{2} ({v_{f}}^{2} - {v_{i}}^{2}) \Rightarrow$

$Δ E_{c i n} = \frac{3 \cdot 10^{15}}{2} [(2 \cdot 10^{4})^{2} - (4 \cdot 10^{4})^{2}] \Rightarrow$

${ΔE}_{cin} = - 1, 8 \cdot 10^{24} J .$

b) Por tratar-se de uma força variável, o impulso pode ser calculado através da área do gráfico, conforme a figura abaixo

Desta forma

$I = A \Rightarrow$

$I = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \Rightarrow$

$I = \frac{(2 + 0, 4) \cdot 2 \cdot 10^{21}}{2} \Rightarrow$

$I = 2, 4 \cdot 10^{21} N \cdot s .$

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equilíbrio de Corpos Extensos Trabalho de uma Força Constante

Recentemente, os arqueólogos do Reino Unido apresentaram novas evidências sobre a origem do círculo de pedras de Stonehenge, na Grã-Bretanha. Testes geoquímicos indicam que a maioria dos monumentos megalíticos compartilham uma origem comum a cerca de vinte e cinco quilômetros de distância, enquanto as pedras azuis menores podem ter sido trazidas de outro monumento que foi desmontado e movido duzentos e oitenta quilômetros.

a) Observe o conjunto de pedras mostrado na figura A, e considere que a pedra na horizontal está em equilíbrio estático, sustentada pelas duas pedras verticais de mesma altura. A pedra horizontal é homogênea, estando a sua massa uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento $L = 4, 0 m$ . A força vertical $\vec{F_{1}}$ indicada na figura A tem módulo igual a $F_{1} = 9, 0 \times 10^{4} N$ . Suponha que uma das pedras verticais se rompa, gerando, imediatamente após a ruptura, o diagrama de forças mostrado na figura B. Na situação da figura A, a força peso – que age no centro de massa da pedra horizontal – produz um torque com módulo $τ_{p}$ em relação ao ponto O. O módulo do torque $τ_{p}$ é dado pelo produto do módulo da força peso P vezes a distância d do centro de massa ao ponto O. Calcule o módulo do torque resultante $τ_{p}$ na situação da figura B.

b) Um mistério que permanece sobre o monumento de Stonehenge diz respeito ao modo como pedras tão pesadas teriam sido deslocadas, percorrendo grandes distâncias. Para ilustrar tal desafio, calcule o trabalho que deve ser realizado por uma força horizontal aplicada a uma pedra de massa $M = 1, 8 \times 10^{4} kg$ para arrastá-la, com velocidade constante, por uma distância $d = 20 km$ em contato com uma superfície horizontal de coeficiente de atrito cinético igual a $μ_{c} = 0, 6$ .Sabendo que $1 kWh = 3, 6 \times 10^{6} J,$ expresse sua resposta em kWh.

Resolução

a) O torque realizado pela força $P$ na condição da figura b pode ser calculado por

$τ = P \cdot d \Rightarrow$

$τ = P \cdot 2$ (1)

Note que $d = 2 m$ porque a pedra é homogênea, portanto, seu peso pode ser representado como uma força pontual em seu centro.

Precisamos, ainda, reconhecer que na situação da figura A a pedra horizontal está em equilíbrio estático, portanto a força e o torque resultantes que atuam sobre este objeto são nulos.

Desta forma podemos concluir que $F_{1} = F_{2}$ devido à simetria do sistema e devido ao fato de que a pedra horizontal é homogênea.

Além disso, da resultante nula, somos capazes de calcular o peso da pedra horizontal, sendo

$F_{1} + F_{2} = P \Rightarrow$

$9 \cdot 10^{4} + 9 \cdot 10^{4} = P \Rightarrow$

$P = 18 \cdot 10^{4} N$ (2)

Substituindo (2) em (1), o torque pedido é

$τ = 18 \cdot 10^{4} \cdot 2 \Rightarrow$

$τ = 3, 6 \cdot 10^{5} N \cdot m .$

b) O trabalho realizado para arrastar a pedra conforme as condições no enunciado pode ser calculado como se segue

$W = F_{a t} \cdot d \Rightarrow$

$W = μ \cdot N \cdot d \Rightarrow$

$W = μ \cdot P \cdot d \Rightarrow$

$W = 0, 6 \cdot 18 \cdot 10^{4} \cdot 20 \cdot 10^{3} \Rightarrow$

$W = 216 \cdot 10^{7} J = \frac{216 \cdot 10^{7}}{3, 6 \cdot 10^{6}} kWh \Rightarrow$

$W = 600 kWh .$

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Pressão de um Líquido Definição de Pressão

Na ilustração da figura abaixo, uma bomba eleva óleo até um reservatório. Um pressostato instalado ao lado da bomba tem a função de ligá-la e de desligá-la conforme varia a altura h do nível do óleo.

a) A bomba é desligada quando a pressão manométrica no pressostato atinge o valor $p_{m} = 3, 2 \times 10^{5} Pa$ .Lembrando que a pressão manométrica é dada por $p_{m} = p - p_{0}$ sendo $p$ a pressão absoluta e $p_{0}$ a pressão atmosférica, e sabendo que a densidade do óleo em questão é $ρ_{ó l e o} = 8, 0 \times 10^{2} kg / m^{3}$ , qual é o valor de h para que o pressostato desligue a bomba?

b) Um elevador hidráulico faz uso da força exercida por um fluido, normalmente um óleo ou o ar. Num elevador residencial a vácuo, a força aplicada sobre a cabine verticalmente para cima é proveniente da diferença de pressão do ar na base e no teto da referida cabine. A parte inferior da base fica em contato com a atmosfera ambiente, portanto, na pressão atmosférica $p_{0} = 100 kPa$ . Já na parte superior do teto, que é fechada hermeticamente, retira-se ar com uma bomba de vácuo, reduzindo-se a pressão. Qual deve ser a pressão $p_{s u p}$ na parte superior de uma cabine cilíndrica de massa $m = 300 kg$ para que ela suba em movimento retilíneo uniforme? As áreas da base e do teto são idênticas e dadas por $A_{b a s e} = A_{t e t o} = 1, 5 m^{2}$ . Despreze qualquer força de atrito.

Resolução

a) A pressão manométrica lida pelo pressostato neste sistema hidráulico corresponde à pressão hidrostática estabelecida pela coluna de água de altura h acima deste componente.

Desta forma, a pressão necessária para que o pressostato desligue a bomba pode ser calculada através da expressão

$p_{d e s l i g a} = ρ \cdot g \cdot h \Rightarrow$

$3, 2 \cdot 10^{5} = 800 \cdot 10 \cdot h \Rightarrow$

$h = 40 m .$

b) A figura abaixo ilustra a pressão distribuida nas faces inferior e superior do cilindro, conforme a descrição do enunciado

Para sustentar que o objeto suba com velocidade constante, é necessário que a força resultante que sobre ele atua seja nula, de forma que

$F_{p r e s s ã o} - m \cdot g = 0 \Rightarrow$

$(p_{i n f} \cdot A - p_{s u p} \cdot A) - m \cdot g = 0 \Rightarrow$

$(p_{i n f} - p_{s u p}) \cdot A = m \cdot g$

onde $A$ é a área da base deste cilindro. Substituindo os dados temos

$(100 \cdot 10^{3} - p_{s u p}) \cdot 1, 5 = 300 \cdot 10 \Rightarrow$

$100 \cdot 10^{3} - p_{s u p} = 2 \cdot 10^{3} \Rightarrow$

$p_{s u p} = 98 \cdot 10^{3} Pa \Rightarrow$

$p_{s u p} = 98 kPa .$

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Intensidade de onda eletromagnética Potência Térmica sem Mudança de Fase

Foi inaugurada em 2021, no deserto do Atacama, no Chile, a primeira usina termossolar da América Latina. Nessa usina, a energia solar é usada para fundir uma mistura de sais em temperaturas elevadas. A energia térmica armazenada nesses sais fundidos é então usada para produzir vapor de água em alta pressão e temperatura, o qual aciona as turbinas geradoras de eletricidade. A coleta da energia solar é feita por mais de dez mil espelhos móveis (helióstatos) distribuídos sobre o terreno.

a) A insolação diária $σ$ é a energia solar incidente por unidade de área durante 1 dia. Na área $A = 6, 0 \times 10^{6} m^{2}$ do terreno ocupado pelos helióstatos, $σ = 8, 0 kWh / m^{2}$ . Uma fração de 5% dessa energia solar incidente no terreno é convertida em energia elétrica pela usina, energia esta fornecida para o consumo durante as 24 h do dia a uma potência constante. Qual é a potência fornecida pela usina?

b) Quanto tempo leva para que uma massa $m = 25000$ toneladas de sal seja fundida se a potência luminosa usada para a fusão for $P_{l u m i n} = 400 MW$ ? O calor latente de fusão do sal é $L_{s a l} = 160 kJ / kg$ . Desde o início até o final do processo, a temperatura do sal permanece constante e igual à temperatura de fusão.

Resolução

a) Para calcular a energia solar incidente, será utilizado a insolação diária;

$σ = \frac{E_{s o l a r}}{A} \Rightarrow$

$E_{s o l a r} = A \cdot σ \Rightarrow$

$E_{s o l a r} = 6 \cdot 10^{6} \cdot 8 \Rightarrow$

$E_{s o l a r} = 48 \cdot 10^{6} kWh .$

A quantidade de energia elétrica transformada é 5% da energia solar, logo:

$E_{e l é t r i c a} = 5 % \cdot E_{s o l a r} \Rightarrow$

$E_{e l é t r i c a} = 5 \cdot 10^{- 2} \cdot 48 \cdot 10^{6} \Rightarrow$

$E_{e l é t r i c a} = 240 \cdot 10^{4} kWh .$

Considerando a potência de um dia sendo constante

$P = \frac{Δ E_{e l é t r i c a}}{Δ t} \Rightarrow$

$P = \frac{240 \cdot 10^{4}}{24} \Rightarrow$

$P = 1 \cdot 10^{5} kW .$

b) Transformando todas as unidades para o SI, temos:

$P_{l u m i n} = 400 \cdot 10^{6} W, m = 25.000 \cdot 10^{3} kg, L = 160 \cdot 10^{3} J / kg .$

Utilizando a relação entre potência térmica, calor latente e tempo:

$P = \frac{Q}{Δ t} \Rightarrow$

$Δ t = \frac{Q}{P} \Rightarrow$

$Δ t = \frac{m \cdot L}{P} \Rightarrow$

$Δ t = \frac{25 \cdot 10^{6} \cdot 160 \cdot 10^{3}}{400 \cdot 10^{6}} \Rightarrow$

$Δ t = 10 \cdot 10^{3} s \Rightarrow$

$Δt \approx 2, 78 h .$

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Velocidade Média Velocidade Vetorial Média Sistemas Conservativos na Dinâmica

Uma nova forma de geração de energia elétrica eólica que vem sendo testada usa a vibração de uma haste vertical de carbono produzida pela força do vento. A energia da oscilação da haste é transformada em energia elétrica por meio de alternadores. Esse sistema apresenta vantagens para o meio ambiente, uma vez que não utiliza as turbinas eólicas convencionais por serem muito barulhentas e perturbarem as comunidades vizinhas e a migração de pássaros.

a) Uma haste vertical rígida, usada num experimento de laboratório, oscila com pequena amplitude de forma que a sua extremidade superior descreve um movimento aproximadamente horizontal. A posição horizontal da extremidade, $x (t)$ , varia com o tempo t conforme o gráfico da figura A. Calcule a velocidade escalar média $V_{e m}$ e o módulo $V_{m}$ da velocidade média da extremidade superior da haste durante um período completo de oscilação.

b) O movimento da extremidade superior da haste do item (a) é similar ao de um pêndulo. Um pêndulo simples, de comprimento $L = 2, 0 m$ e massa $m$ em sua extremidade inferior (a massa da haste em si é desprezível), é solto a partir do repouso do ângulo $θ_{0} = 26 °$ (veja a figura B). Despreze perdas por atrito e calcule a velocidade da massa m quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória.

Dados: $sen 26 ° ≃ 0, 44; \cos 26 ° ≃ 0, 90; \tan 26 ° ≃ 0, 49 .$

Resolução

a) A velocidade escalar média pode ser definida como a "rapidez" de uma partícula ou corpo. Enquanto a velocidade média é função do deslocamento $Δ x$ , a velocidade escalar média é função da distância total percorrida $D$ , independente do sentido.

Velocidade escalar média:

A partir do gráfico a partícula percorre 1,5 cm no sentido positivo do eixo x(t), depois mais 3 cm no sentido negativo do eico x(t) e, para completar um ciclo, mais 1,5 cm no sentido positivo do eixo x(t), logo percorreu em um ciclo a distância total de:

$D = 1, 5 + 3 + 1, 5 \Rightarrow$

$D = 6 cm .$

A velocidade escalar média pode então ser determinada por

$V_{e m} = \frac{D}{Δ t} \Rightarrow$

$V_{e m} = \frac{6}{0, 2} \Rightarrow$

$V_{em} = 30 cm / s .$

Velocidade média:

Em um cilco as posições final e incial são iguais, logo:

$Δ x = x_{f} - x_{i}$

$Δ x = 0$ .

Com isso, podemos determinar a velocidade média:

$v_{m} = \frac{Δ x}{Δ t} \Rightarrow$

$v_{m} = 0 .$

b) Para determinar a velocidade no ponto mais baixo da trajetória, vamos utilizar a conservação da eneergia mecânica e, para isso, é nécessário determinar a diferença de altura entre as posições mais alta e mais baixa do movimento.

Primeiramente, determinamos x:

$\cos (26 º) = \frac{x}{2} \Rightarrow$

$x = 0, 9 \cdot 2 \Rightarrow$

$x = 1, 8 m .$

Agora, descobrimos a variação da altura, necessária para determinar a variação de energia potencial:

$x + h = 2 \Rightarrow$

$1, 8 + h = 2 \Rightarrow$

$h = 0, 2 m .$

Tomando o ponto mais baixo como referencial para o cálculo da energia potencial gravitacional e sabendo que o sistema é conservativo, ou seja, a energia mecância se conserva.

${E_{m e c}}_{i} = {E_{m e c}}_{f} \Rightarrow$

$m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^{2}}{2} \Rightarrow$

$v^{2} = 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow$

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0, 2} \Rightarrow$

$v = \sqrt{4} \Rightarrow$

$v = 2 m / s .$