Questão 2 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Força Variável no Impulso Impulso e Quantidade de Movimento Energia na Mecânica

Recentemente, cientistas internacionais realizaram um estudo sobre as opções para evitar um possível impacto de um asteroide com a Terra e estimaram que o tempo mínimo de antecedência do início das ações para impedir a colisão é de cinco anos.

a) Considere um asteroide de massa $M = 3, 0 \times 10^{15} kg$ (comparável com a massa do asteroide que supostamente colidiu com a Terra e causou a extinção dos dinossauros) se deslocando em direção à Terra com uma quantidade de movimento de módulo $|\vec{Q_{i}}| = 1, 2 \times 10^{20} N \cdot s$ . Na tentativa de evitar o impacto, pretende-se lançar um míssil da Terra em direção ao asteroide de modo que, com o choque, seja gerado um impulso que altere a velocidade do asteroide (em módulo ou direção). Suponha que essa operação ocorra com sucesso, reduzindo o módulo da velocidade de deslocamento do asteroide pela metade. Desprezando a variação da massa do asteroide durante a operação, calcule a variação da energia cinética do asteroide como resultado da operação.

b) Considere agora um outro asteroide que sofre, de fato, um impacto com a Terra. Considere também que o módulo da força de impacto da superfície da Terra agindo sobre o asteroide varie em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo. Calcule o módulo do impulso que agiu sobre o asteroide durante a colisão com a Terra.

Resolução

a) A energia cinética é dada por $E = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ , de forma que, reduzir a velocidade pela metade implica na redução da energia por um fator 4. Ou seja, a energia do asteróide após o impacto representa 1/4 da energia do asteróide antes do impacto.

Desta forma, a variação de energia cinético do asteróide é dada por

$∆ E = E_{d e p o i s} - E_{a n t e s} \Rightarrow$

$∆ E = \frac{1}{4} \cdot E_{a n t e s} - E_{a n t e s} \Rightarrow$

$∆ E = - \frac{3}{4} \cdot E_{a n t e s}$ (1)

Além disso, podemos calcular a energia cinética do asteróide em termos de sua quantidade de movimento, sendo

$E_{c} = \frac{Q^{2}}{2 \cdot m}$ (2)

Substituindo (2) em (1) obtemos

$∆ E = - \frac{3}{4} \cdot \frac{Q_{a n t e s}^{2}}{2 \cdot m} \Rightarrow$

$∆ E = - \frac{3}{4} \cdot \frac{{(1, 2 \cdot 10^{20})}^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 10^{15}} \Rightarrow$

$∆ E = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1, 44 \cdot 10^{40}}{2 \cdot 10^{15}} \Rightarrow$

$∆ E = - 1, 8 \cdot 10^{24} J .$

RESOLUÇÃO ALTERNATIVA:

Lembrando que a energia cinética é calculada pela relação:

$E = \frac{M \cdot v^{2}}{2}$ (I)

e a quantidade de movimento, em módulo, por

$Q = M \cdot v$ . (II)

Com os dados do enunciado ( $Q_{i} = 1, 2 \cdot 10^{20} N \cdot s$ e $M = 3, 0 \cdot 10^{15} kg$ ) e com a segunda equação, podemos determinar a velocidade inicial do asteroide:

$Q_{i} = M \cdot v_{i} \Rightarrow$

$1, 2 \cdot 10^{20} = 3, 0 \cdot 10^{15} \cdot v_{i} \Rightarrow$

$v_{i} = 4 \cdot 10^{4} m / s .$

Como a velocidade final será metade da inicial, conforme afirma o enunciado, temos que $v_{f} = 2 \cdot 10^{4} m / s .$

Agora, com a equação (I), determinamos a variação de energia cinética:

$Δ E_{c i n} = \frac{M \cdot {v_{f}}^{2}}{2} - \frac{M \cdot {v_{i}}^{2}}{2} = \frac{M}{2} ({v_{f}}^{2} - {v_{i}}^{2}) \Rightarrow$

$Δ E_{c i n} = \frac{3 \cdot 10^{15}}{2} [(2 \cdot 10^{4})^{2} - (4 \cdot 10^{4})^{2}] \Rightarrow$

${ΔE}_{cin} = - 1, 8 \cdot 10^{24} J .$

b) Por tratar-se de uma força variável, o impulso pode ser calculado através da área do gráfico, conforme a figura abaixo

Desta forma

$I = A \Rightarrow$

$I = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \Rightarrow$

$I = \frac{(2 + 0, 4) \cdot 2 \cdot 10^{21}}{2} \Rightarrow$

$I = 2, 4 \cdot 10^{21} N \cdot s .$