Unesp 2020 - 2ª fase - dia 1 - Humanas, Natureza e Matemática

Questão 21 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Potência Elétrica 1ª Lei de Ohm Energia Elétrica na Eletrodinâmica

O Programa Brasileiro de Etiquetagem (PBE) tem o objetivo de orientar o consumidor quanto ao consumo e à eficiência energética dos principais eletrodomésticos nacionais. A figura 1 ilustra a etiqueta de um chuveiro elétrico, apresentando a tensão nominal de funcionamento e as potências nominal e econômica (potência máxima e mínima do chuveiro). Em um banheiro, foram instalados esse chuveiro (C) e duas lâmpadas idênticas (L), de valores nominais (110 V – 60 W) cada, conforme a figura 2.

a) Calcule a intensidade da corrente elétrica, em ampères, que atravessa o chuveiro e determine a resistência elétrica, em Ω, desse chuveiro quando ele opera com sua potência econômica.

b) Considere que as duas lâmpadas desse banheiro fiquem acesas simultaneamente por 30 minutos e que, nesse intervalo de tempo, o chuveiro permaneça ligado por 20 minutos, operando com sua potência nominal. Admitindo que 1 kWh de energia elétrica custe R$ 0,50, calcule o gasto, em reais, gerado nos 30 minutos desse banho, devido ao funcionamento do chuveiro e das lâmpadas.

Resolução

a) Para calcular a corrente elétrica que atravessa o chuveiro na condição de potência econômica, temos

$P = U \cdot i \Rightarrow$

$2200 = 220 \cdot i \Rightarrow$

i = 10 A

Para encontrarmos a resistência elétrica desse chuveiro na mesma condição de funcionamento, podemos nos valer da 1ª lei de Ohm, portanto

$U = R \cdot i \Rightarrow$

$220 = R \cdot 10 \Rightarrow$

R = 22 Ω

b) A energia consumida pelas lâmpadas, $E_{L}$ , é:

$E_{L} = P \cdot ∆ t \Rightarrow$

$E_{L} = 2 \cdot 60 (W) \cdot 0, 5 (h) \Rightarrow$

$E_{L} = 60 Wh$

Onde o fator 2 se deve à existência de duas lâmpadas idênticas em funcionamento.

A energia consumida pelo chuveiro, $E_{c}$ , é:

$E_{C} = P \cdot ∆ t \Rightarrow$

$E_{C} = 6000 (W) \cdot \frac{1}{3} (h) \Rightarrow$

$E_{C} = 2000 Wh$

Dessa forma, a energia total consumida foi de

$E_{T} = E_{L} + E_{C} \Rightarrow E_{T} = 2000 + 60 = 2060 W h = 2, 06 k W h$

Sendo R$ 0,50 o custo do kWh, então o gasto, em reais, é de

$C = 0, 5 \cdot 2, 06 \Rightarrow C = R $ 1, 03$

Questão 22 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Estudo Analítico da Reta Distância entre Pontos

Um grupo de cientistas estuda os hábitos de uma espécie animal em uma área de preservação. Inicialmente, delimitou-se uma área plana (ABCD, figura 1), na qual deverão ser estabelecidos dois pontos de observação. A figura 2 apresenta um modelo matemático da área delimitada, com dois setores retangulares nos quais serão estabelecidos os pontos de observação, sendo que cada ponto de observação deverá pertencer a apenas um dos setores. Parte do grupo de cientistas ocupar-se-á exclusivamente com os hábitos de reprodução dessa espécie e atuará na região em forma de paralelogramo, indicada na figura 3.

a) Para a construção dos dois pontos de observação, considere que a localização do ponto do setor I deverá ser equidistante dos pontos A e B e que a localização do ponto do setor II deverá ser equidistante dos pontos B e C. Utilizando as coordenadas do plano cartesiano da figura 2, determine uma possível localização do ponto de observação para cada um dos setores.

b) Dado que 1 unidade de distância dos planos cartesianos equivale a 200 metros de distância real, determine o perímetro da região em que serão estudados os hábitos de reprodução da espécie (figura 3).

Resolução

a) Todos os pontos do plano equidistantes aos pontos A e B estão localizados na mediatriz do segmento $\bar{A B}$ , ou seja, na reta perpendicular ao segmento que contém seu ponto médio, o ponto $(0; 4)$ , assim a equação da mediatriz é

$y = 4$ .

Seja $P = (x_{P}; y_{P})$ o ponto de observação do setor I. Este setor retangular é limitado pelas retas $x = 1$ e $x = 3$ , logo $1 \leq x_{P} \leq 3$ . Como o ponto P pertence à mediatriz de $\bar{A B}$ , temos que $y_{P} = 4$ .

Analogamente, os pontos do plano equidistantes aos pontos B e C estão localizados na mediatriz do segmento $\bar{B C}$ , a reta $x = \frac{15}{2}$ .

Seja $Q = (x_{Q}; y_{Q})$ o ponto de observação do setor II, sendo que este é limitado pelas retas $y = 5$ e $y = 7$ , logo $5 \leq y_{Q} \leq 7$ . Como o ponto Q pertence à mediatriz de $\bar{B C}$ , temos que $x_{Q} = \frac{15}{2}$ .

Assim, os pontos de observação dos setores I e II são, respectivamente,

$P = (x_{P}, 4), 1 \leq x_{P} \leq 3$

$Q = (\frac{15}{2}, y_{Q}), 5 \leq y_{Q \leq} 7$

b) No paralelogramo DEFG sabemos que $F = (9; 6)$ e $D = (9; 0)$ .

O ponto G, por exemplo, é a intersecção entre as retas $\overset{\leftrightarrow}{C D}$ e $\overset{\leftrightarrow}{F G}$ . Esta é paralela ao eixo Ox, logo sua equação é dada por $y = 6$ .

Para determinar a equação da reta $\overset{\leftrightarrow}{C D}$ temos que $C = (15; 8)$ e $D = (9; 0)$ , logo o coeficiente angular da reta é

$m = \frac{8 - 0}{15 - 9} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .

Portanto a equação encontrada é

$y - 0 = \frac{4}{3} (x - 9) \Leftrightarrow 4 x - 3 y - 36 = 0$ .

Encontramos o ponto G a partir da resolução do sistema de equações a seguir:

$\{\begin{cases} y = 6 \\ 4 x - 3 y - 36 = 0 \end{cases}$ .

Substituindo a primeira equação na segunda, encontramos:

$4 x - 3 \cdot 6 - 36 = 0 \Leftrightarrow 4 x = 54 \Leftrightarrow x = \frac{27}{2}$

Portanto,

$G = (\frac{27}{2}; 6)$ .

Para determinar a distância entre os pontos F e G, basta calcular a diferença entre suas abscissas, assim temos que

$F G = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$ .

Ao calcular a distância entre os pontos D e G, fazemos:

$D G = \sqrt{{(\frac{27}{2} - 9)}^{2} + {(6 - 0)}^{2}} \Leftrightarrow D G = \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + 6^{2}} \Leftrightarrow$

$D G = \frac{15}{2}$

Num paralogramo os lados opostos têm mesma medida, portanto $D E = F G = \frac{9}{2}$ e $E F = D G = \frac{15}{2}$ , assim o perímetro do paralelogramo DEFG é

$2 \cdot \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{15}{2} = 9 + 15 = 24$ .

Cada unidade do plano cartesiano equivale a 200 metros de distância real, portanto o perímetro da região em que serão estudados os hábitos de reprodução da espécie é $24 \cdot 200 = 4800$ metros, ou seja, 4,8 km.

Questão 23 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Matrizes Sistemas Lineares

A modelagem dos sistemas de cor é essencial na computação gráfica, e um dos maiores desafios dessa área é a conversão de coordenadas de diferentes sistemas. O sistema RGB pressupõe que o sistema de processamento de cor do olho humano seja baseado nas faixas vermelha (red), verde (green) e azul (blue) do espectro visível. Já o modelo CMY usa cores complementares, ciano (cyan), magenta (magenta) e amarelo (yellow), e foi importante no desenvolvimento de impressoras. As cores no sistema CMY ficam delimitadas por um cubo, o cubo CMY, conforme ilustrado.

a) A transformação de uma cor no sistema RGB, descrita por (r, g, b), para o sistema CMY, descrita por (c, m, y), é dada por $[\begin{matrix} c \\ m \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} r \\ g \\ b \end{matrix}]$ . Supondo que uma cor no sistema RGB seja descrita por $(\begin{matrix} \frac{1}{4} & ; \frac{1}{100}; & 0 \end{matrix})$ , apresente as coordenadas dessa cor no sistema CMY e indique qual das oito cores detalhadas no cubo CMY está mais próxima dela.

b) O sistema NTSC (National Television Standards Committee), utilizado em emissões para a televisão, baseia-se na separação dos sinais de cor RGB em um sinal de luminosidade e dois sinais de cromaticidade. Assim como no espaço RGB, as cores no espaço YIQ, utilizado no sistema NTSC, são descritas por coordenadas, sendo representadas por (y, i, q). A relação entre as cores desses dois sistemas é dada, de modo simplificado, pela expressão matricial:

$[\begin{matrix} y \\ i \\ q \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0, 3 & 2 β & γ \\ 3 α & - β & - 0, 3 \\ α & - 0, 5 & - 3 γ \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} r \\ g \\ b \end{matrix}]$

Sabendo que uma cor no sistema RGB descrita por (0,2; 0,5; 0,4) está associada a uma cor no sistema YIQ descrita por (0,4; –0,15; –0,33), determine α, β e γ.

Resolução

a) Utilizando os dados do enunciado e substituindo na equação matricial, temos:

$[\begin{matrix} c \\ m \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{100} \\ 0 \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} c \\ m \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{3}{4} \\ \frac{99}{100} \\ 1 \end{matrix}]$

Assim, as cordenadas da cor no sistema CMY são:

$(\frac{3}{4}; \frac{99}{100}; 1)$

E, utlizando o sistema ortogonal do enunciado, podemos dizer que a cor está mais próxima do Preto, conforme imagem abaixo, onde o ponto A representa a cor obtida acima.

b) Resolvendo o sistema linear em sua forma matricial, temos:

$[\begin{matrix} 0, 3 & 2 β & γ \\ 3 α & - β & - 0, 3 \\ α & - 0, 5 & - 3 γ \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} r \\ g \\ b \end{matrix}] = [\begin{matrix} y \\ i \\ q \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} 0, 3 & 2 β & γ \\ 3 α & - β & - 0, 3 \\ α & - 0, 5 & - 3 γ \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0, 2 \\ 0, 5 \\ 0, 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0, 4 \\ - 0, 15 \\ - 0, 33 \end{matrix}] \Rightarrow$

$\{\begin{cases} \begin{matrix} 0, 06 + β + 0, 4 γ = 0, 4 \\ 0, 6 α - 0, 5 β - 0, 12 = - 0, 15 \end{matrix} \\ 0, 2 α - 0, 25 - 1, 2 γ = - 0, 33 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \begin{matrix} β + 0, 4 γ = 0, 34 \\ 0, 6 α - 0, 5 β = - 0, 03 \end{matrix} \\ 0, 2 α - 1, 2 γ = - 0, 08 \end{cases} \overset{L_{3} \to L_{3} + 3 L_{1}}{\Rightarrow}$

$\{\begin{array}{l} \begin{matrix} β + 0, 4 γ = 0, 34 \\ 0, 6 α - 0, 5 β = - 0, 03 \end{matrix} \\ 0, 2 α + 3 β = 0, 94 \end{array} \overset{L_{3} \to L_{3} + 6 L_{2}}{\Rightarrow} \{\begin{cases} \begin{matrix} β + 0, 4 γ = 0, 34 \\ 0, 6 α - 0, 5 β = - 0, 03 \end{matrix} \\ 3, 8 α = 0, 76 \end{cases} \Rightarrow$

$\{\begin{array}{l} \begin{matrix} β + 0, 4 γ = 0, 34 \\ 0, 6 α - 0, 5 β = - 0, 03 \end{matrix} \\ α = 0, 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} \begin{matrix} β + 0, 4 γ = 0, 34 \\ 0, 6 α - 0, 5 β = - 0, 03 \end{matrix} \\ α = 0, 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} \begin{matrix} β + 0, 4 γ = 0, 34 \\ β = 0, 3 \end{matrix} \\ α = 0, 2 \end{array} \Rightarrow$

$\{\begin{cases} \begin{matrix} α = 0, 2 \\ β = 0, 3 \end{matrix} \\ γ = 0, 1 \end{cases}$

Assim, os valores de α, β e γ são $\{\begin{cases} α = 0, 2 \\ \begin{matrix} β = 0, 3 \\ γ = 0, 1 \end{matrix} \end{cases}$ .

Questão 24 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Exponencial Equações e inequações logarítmicas

A penicilina benzatina é um antibiótico indicado no tratamento de certas infecções, e sua meia-vida é de 336 horas. Ou seja, após esse período de tempo a quantidade de medicamento no sangue reduz-se pela metade. O tratamento convencional é feito com uma aplicação de 1200000 UI do medicamento e essa dose mantém-se em quantidade adequada no sangue (isto é, não inferior a 300 000 UI) durante os 28 dias seguintes. A dosagem, o número de doses e o intervalo de tempo entre as doses depende da doença a ser tratada.

a) Considere um paciente que recebeu 2 doses, cada uma de 1200000 UI, desse medicamento, sendo que a segunda dose foi aplicada 28 dias após a primeira dose. Faça um esboço gráfico na malha presente no campo de Resolução e Resposta, representando a quantidade desse medicamento no sangue ao longo de 8 semanas de tratamento.

b) Considere outro caso, em que um paciente foi tratado com 2 doses, cada uma de 2400000 UI, de penicilina benzatina, sendo a segunda dose aplicada 14 dias após a primeira. Determine a quantidade desse medicamento no sangue do paciente, em UI, logo após ele tomar a segunda dose e indique durante quantos dias completos, após essa segunda dose, a quantidade de medicamento permanecerá em quantidade adequada no sangue desse paciente.

Adote em seus cálculos log2 = 0,30; log3 = 0,48.

FOLHA DE RESPOSTA:

Resolução

Note que 336 horas equivalem a 14 dias, ou seja, 2 semanas.

a) A quantidade de medicamento no sangue, em Ul, desse paciente ao longo das 8 semanas de tratamento pode ser representada por uma função $f$ , do tipo exponencial.

A primeira dose é 1 200 000 Ul, então $f (0) = 1 200 000$ . Após 2 semanas, a quantidade reduz-se pela metade, então $f (2) = 600 000$ .

Em 4 semanas, a quantidade seria 300 000 Ul, no entanto o paciente recebe a 2ª dose, assim $f (4) = 300 000 + 1 200 000 = 1 500 000$ .

Reduzindo pela metade a cada duas semanas encontramos $f (6) = 750 000$ e $f (8) = 375 000$ .

Note que a função $f$ pode ser representada pela seguinte expressão:

$f (x) = \{\begin{cases} 1 200 000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{2}}, & 0 \leq x < 4 \\ 1 500 000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{x - 4}{2}}, & 4 \leq x \leq 8 \end{cases}$ ,

em que $x$ representa o número de semanas.

Assim encontramos o gráfico a seguir.

b) Após 14 dias, a quantidade da 1ª dose reduz-se pela metade, resultando em 1 200 000 Ul. Ao receber a 2ª dose, essa quantidade aumenta para 3 600 000 Ul.

Note que a quantidade de medicamento no sangue, em Ul, pode ser expressa pela função

$g (x) = 3 600 000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{14}}$ ,

em que $x$ é a quantidade de dias a partir da 2ª dose.

Queremos determinar durante quantos dias completos, a partir da 2ª dose, a quantidade do medicamento no sangue será não inferior a 300 000 Ul, então

$g (x) \geq 300 000 \Rightarrow$ .

$3 600 000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{14}} \geq 300 000 \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{14}} \geq \frac{1}{12} \Leftrightarrow$

$2^{\frac{x}{14}} \leq 12 \Leftrightarrow \log 2^{\frac{x}{14}} \leq \log 12$

Note que

$\log 12 = \log 2^{2} \cdot 3 = \log 2^{2} + \log 3 = 2 \cdot \log 2 + \log 3$ .

Substituindo na inequação, temos:

$\frac{x}{14} \cdot \log 2 \leq 2 \cdot \log 2 + \log 3$ .

Adotando $\log 2 = 0, 3$ e $\log 3 = 0, 48$ , encontramos:

$\frac{x}{14} \cdot 0, 3 \leq 0, 6 + 0, 48 \Leftrightarrow \frac{x}{14} \leq 3, 6 \Leftrightarrow x \leq 50, 4$

Portanto a quantidade de medicamento permanecerá em quantidade adequada no sangue desse paciente por 50 dias completos.