Unifesp - 2ª fase - Específicas

a) Pela Conservação da Energia Mecânica do Sistema podemos escrever:

$M\cdot \frac{V_B{}^2}{2}+M\cdot g\cdot h_B=M\cdot \frac{V_C{}^2}{2}+M\cdot g\cdot h_C$.

Como M aparece em todas as parcelas, podemos eliminá-lo da equação:

$\frac{V_B{}^2}{2}+g\cdot h_B=\frac{V_C{}^2}{2}+g\cdot h_C$.

Substituindo valores, temos:

$\frac{{\left(10\sqrt{2}\right)}^2}{2}+10\cdot 22=\frac{V_C^2}{2}+10\cdot 30\Rightarrow$

$\frac{100\cdot 2}{2}+220=\frac{V_C^2}{2}+300\Rightarrow$ $\frac{V_C^2}{2}=20\Rightarrow$ $V_C^{}=\sqrt{40}$

$\boxed{V_C^{}=2\sqrt{10}\text{m/s}}$.

b) O ponto onde o esquiador poderia correr o risco de perder contato com a pista é o ponto C. A Força Resultante Centrípeta em C deve ser inferior ou igual ao Peso do esquiador para garantir que ele não perca contato com a pista ao passar por esse ponto. Assim:

$M\cdot \frac{V_C{}^2}{R}\le M\cdot g\Rightarrow \frac{V_C{}^2}{R}\le g\Rightarrow V_C{}^2\le g\cdot R$          (1)

Agora, novamente pela Conservação da Energia Mecânica do Sistema:

$M\cdot \frac{V_A{}^2}{2}+M\cdot g\cdot h_A=M\cdot \frac{V_C{}^2}{2}+M\cdot g\cdot h_C$.

Considerando que o esquiador parte do repouso em A $$ e que M aparece em todas as parcelas:

$g\cdot h_A=\frac{V_C{}^2}{2}+g\cdot h_C\Rightarrow$

$2g\cdot \left(h_A-h_C\right)=V_C{}^2$.

Utilizando a equação (1), temos:

$2\cdot \left(h_A-h_C\right)\le R\Rightarrow h_A\le \frac{R}{2}+h_C\Rightarrow h_A\le \frac{10}{2}+30\Rightarrow$

$\boxed{h_A\le 35\text{m}}$.

a) Na primeira situação, a normal terá módulo igual ao peso, assim:

$N_1=P$

sendo P o módulo do peso do corpo.

Na segunda situação, a normal será igual ao $P_y$ conforme o esquema a seguir. Estão também representadas as componentes do peso na direção do plano inclinado e perpendicular à este.

Como a resultante na direção perpendicular ao plano inclinado é nula, temos:

$N_2=P_y=P\cos \theta$.

Agora, calculando a razão pedida:

$\frac{N_1}{N_2}=\frac{\cancel{P}}{\cancel{P}\cos \theta }\Rightarrow \frac{N_1}{N_2}=\frac{1}{\cos 30°}\Rightarrow$ $\frac{N_1}{N_2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow$ $\frac{N_1}{N_2}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$.

b) Para que o corpo esteja na iminência do movimento é necessário que a força de atrito máxima (ou atrito de destaque) seja igual à componente $P_x$ do peso. Assim:

$F_{at}=P_x\Rightarrow \mu \cdot N_2=P\cdot \mathrm{sen}\theta \Rightarrow$

$\mu \cdot \cancel{P}\cdot \cos \theta =\cancel{P}\cdot \mathrm{sen}\theta \Rightarrow \mu =\frac{\mathrm{sen}\theta }{\cos \theta }=\mathrm{tg}\theta =\mathrm{tg}30°\Rightarrow$

$\mu =\frac{\sqrt{3}}{3}$.

a) Nesta situação, o Empuxo (E) deve equilibrar o Peso (P) do bloco. Logo,

$\begin{array}{c}\left|\overrightarrow{E}\right|=\left|\overrightarrow{P}\right|\iff V_{\text{imerso}}\cdot g\cdot {\rho }_{\text{suco}}=m_{\text{bloco}}\cdot g\iff V_{\text{imerso}}\cdot {\rho }_{\text{suco}}=m_{\text{bloco}}\iff \\ V_{\text{imerso}}=\frac{20}{1}\iff \boxed{V_{\text{imerso}}=20{\text{cm}}^3}\end{array}$

b) Considerando esse, um Sistema Termicamente Isolado, e que por hipótese sua temperatura de equilíbrio será igual ou superior a zero, temos:

Note que o resultado está em acordo com a hipótese adotada.

a) Sendo C o centro da base do cone, esse ponto será também o centro da base da semiesfera B, assim, o raio que partir do ponto C incidirá no ponto Q paralelamente à normal (perpendicularmente à superfície da semiesfera B), de modo que não haverá deflexão do raio de luz, assim, $\beta$ corresponde ao ângulo de refração no ponto C. Veja a figura:

Aplicando a Lei de Snell-Descartes (2ª Lei da Refração) para o raio que incide no ponto C:

$n_A\cdot sen\left(\alpha \right)=n_B\cdot sen\left(\beta \right)\Rightarrow$

$\mathrm{1,6}\cdot \sqrt{3}\cdot sen30º=\mathrm{1,6}\cdot sen(\beta )\Rightarrow$

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=sen(\beta )\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=sen(\beta )\Rightarrow$

$\boxed{\beta =60º}$.

b) Para que o raio não emerja pela superfície cônica, não poderá ocorrer reflexão total da luz na superfície de separação dos dois meios. Para isso, o ângulo de incidência deverá ser inferior ao ângulo limite ( $\widehat{L}$ ) de refração do dioptro em questão:

${\text{n}}_{\text{A}}\cdot sen(\widehat{L})={\text{n}}_{\text{B'}}\cdot sen(90º)\Rightarrow sen(\widehat{L})=\frac{{\text{n}}_{\text{B'}}}{{\text{n}}_A}$.

Considerando que o raio R incide em C com um ângulo de 30°, devemos ter:

$sen(30º)<sen(\widehat{L})\Rightarrow sen(30º)<\frac{{\text{n}}_{B^{\prime }}}{{\text{n}}_A}\Rightarrow$

$\frac{1}{2}<\frac{{\text{n}}_{B^{\prime }}}{\mathrm{1,6}\cdot \sqrt{3}}\Rightarrow$

$\boxed{{\text{n}}_{B^{\prime }}>\mathrm{0,8}\sqrt{3}}$.

a) Observe que a distâncias entre as cargas quando q está no ponto A é 4d enquanto que quando q está em B a distância será $4d\sqrt{2}$ , conforme esquematizado abaixo.

Assim, pela Lei de Coulomb:

$\left\{\begin{array}{l}{F}_A=F=\frac{KQq}{(4d{)}^2}\\ F_B=\frac{KQq}{(4d\sqrt{2}{)}^2}\end{array}\right.$

Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos:

$\frac{F}{F_B}=\frac{\frac{KQq}{{\left(4d\right)}^2}}{\frac{KQq}{{\left(4d\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{\cancel{KQq}}{{\left(4d\right)}^2}\cdot \frac{{\left(4d\sqrt{2}\right)}^2}{\cancel{KQq}}\iff$

$\frac{F}{F_B}={\left(\frac{\bcancel{4d}\sqrt{2}}{\bcancel{4d}}\right)}^2=2\Rightarrow$

$\boxed{F_B=\frac{F}{2}}$.

b) Lembramos que a energia potencial elétrica de um sistema de duas cargas é dado por:

$E=\frac{KQq}{d}$.

Quando a força elétrica realiza um trabalho positivo, haverá aumento da energia cinética à um custo da perda de sua energia potencial, por isso, sendo τ o trabalho da força elétrica, temos:

$\tau =-\Delta E$.

Substituindo as informações dadas e obtidas no item (a), temos:

$\tau =-(E_B-E_A)=-\frac{KQq}{4d\sqrt{2}}+\frac{KQq}{4d}=\frac{4Qq}{4d}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Substituindo o dado do enunciado ( $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4}$ ), obtêm-se:

$\boxed{\tau \approx \frac{KQq}{14d}}$.

Observação:

Se racionalizarmos o resultado antes de substituir a aproximação do enunciado, obtemos:

$\tau =\frac{KQq}{4d}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})\iff \tau =\frac{KQq}{4d}\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)$.

Fazendo então $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4}$ :

$\boxed{\tau \approx \frac{3KQq}{40d}}$.

Qualquer uma das duas aproximações é igualmente válida.

a) Vamos denotar . Podemos então formar um triângulo retângulo com o ponto e o segmento dado:

Assim, pelas definições trigonométricas podemos escrever:

Ou seja, as coordenadas do ponto são P = (3,3$\sqrt{3}$).

b) Observe que completando ângulos na figura a seguir, obtemos:

Então pela soma dos ângulos internos de um triângulo x = 180° - 60° - 105° = 15°. Pela inclinação negativa da reta, podemos falar que seu coeficiente angular é dado por -tg(15°), utilizando então que 15° pode ser escrito como a diferença de dois ângulos notáveis temos:

Racionalizando:

Então nossa equação de reta é dada por y = ( $\sqrt{3}$ - 2 ) x + $\kappa$ e para descobrir o valor de $\kappa$ substituímos o ponto P na reta.

3$\sqrt{3}$ = ( $\sqrt{3}$ - 2 ) 3 + $\kappa$ $\leftrightarrow$ $\kappa$ = 6

Então a equação reduzida da reta é dada por

y = ( $\sqrt{3}$ - 2) x + 6

a) Os que nunca pesquisaram informações médicas na internet são os que nunca navegaram somados a 20% dos que foram entrevistados e navegam mas não pesquisaram.

Ora, os que nunca navegaram são dados por

$210+130=340\text{\hspace{0.17em}pessoas}$.

Logo, o número de entrevistados que navegam é dado por

$1840-340=1500\text{\hspace{0.17em}pessoas}$.

Desses, 20% não fizeram pesquisas médicas, totalizando,

$0,2\cdot 1500=300\text{\hspace{0.17em}pessoas}$.

Portanto, a quantidade de pessoas que não fizeram pesquisas sobre informações médicas na internet é dada por

$340+300=\boxed{640\text{\hspace{0.17em}pessoas}}$.

b) Notemos que o número de entrevistados que navegam na internet e já fizeram pesquisas médicas é dado por

$0,8\cdot 1500=1200\text{\hspace{0.17em}pessoas}$.

Desses, 64% são mulheres, ou seja,

$0,64\cdot 1200=768$ mulheres.

Das mulheres, 12,5% possuem apenas ensino fundamental, isto é,

$0,125\cdot 768=96\text{\hspace{0.17em}mulheres}$.

Mas, dos 1200 entrevistados que navegam e já procuraram informações médicas, 43% possuem diploma de ensino fundamental. Isso corresponde à

$0,43\cdot 1200=516$ pessoas.

Como 96 são mulheres, então,

$516-96=\boxed{420\text{\hspace{0.17em}homens}}$.

a) Estamos interessados em resolver a equação , então

Então o discriminante vale e, portanto,

Como queremos a menor solução, ficamos com . Assim, corridas 10 horas após 11 horas da manha temos que a concentração atingirá o valor desejado às 21h da segunda feira.

b) Perceba que nossa função é uma função de segundo grau com concavidade pra baixo, assim seu de máximo é seu vértice. Como queremos o horário em que a concentração é máxima, queremos o do vértice. Utilizando sua fórmula temos:

Então, como são corridas 20 horas após as 11 da manhã, temos 13 horas do mesmo dia e mais 7 horas do dia seguinte. Assim, a segunda dose deverá ser tomada às 7 horas d

a) Considerando o tabuleiro de xadrez usual, onde cada coluna é nomeada de A até H e as linhas são numeradas de 1 à 8, podemos colocar as peças contiguamente na mesma linha ou mesma coluna do tabuleiro. Escolhida uma linha (por exemplo), temos 7 pares diferentes de casas adjacentes para alocar nossas peças:

Então, temos 16 filas possíveis de escolha (8 linhas e 8 colunas), cada uma com 7 possibilidades de par de casa para alocação e por fim temos duas ordens possíveis para as peças nas casas:

ou

Então, os casos são $16·7·2=224$.

b) Observe que a informação dele diz que a peça ocupará um lugar na diagonal principal da matriz. Como precisamos saber quantas casas são adjacentes a casa que a peça ocupa, devemos separar em dois casos: quando escolhemos um lugar no canto para a peça e quando escolhemos um outro lugar para ela. Para a primeira situação ficamos com duas casas livres para :

Como apenas duas das oito casas da diagonal em questão são dessa forma, essa situação ocorre com $\frac{2}{8}$ de chance, e nela temos 2 casas favoráveis das 63 restantes, resultando em $\frac{2}{63}$ de chance delas serem contíguas.

Na segunda situação não pegamos uma casa da ponta, resultando em 4 espaços possíveis para :

Como temos 6 casas fora dos cantos na diagonal, temos $\frac{6}{8}$ de chance desse caso acontecer. Nele temos 4 casas favoráveis dentre as 63 livres, resultando $\frac{4}{63}$de chance delas serem contíguas.

Assim nossa probabilidade fica:

$P\left(contíguas\right)=\frac{2}{8}·\frac{2}{63}+\frac{6}{8}·\frac{4}{63}=\frac{7}{126}=\frac{1}{18}$

a) 

b) Olhando para a figura 2, ao projetarmos (perpendicularmente) o H que está no topo do tetraedro, na base, teremos a seguinte figura:

Mas pelo enunciado, , portanto, .

Ora,

Pela tabela, , logo,.