Questão 90 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 90

Função Logarítmica Trigonometria Gases (Química)

Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:

$V (t) = l o g_{2} (5 + 2 sen (π t))$ , $0 \leq t \leq 2$ ,

em que t é medido em horas e V(t) é medido em m³. A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0,2] ocorre no instante

a)	$t = 0,4$
b)	$t = 0,5$
c)	$t = 1$
d)	$t = 1,5$
e)	$t = 2$

Resolução

$p \cdot V = n \cdot R \cdot T$

Pela equação de Clapeyron, se a temperatura é mantida constante, então o produto pressão por volume também será mantido constante. Portanto, a pressão do gás será máxima quando o volume for mínimo.

Sendo o logaritmo em base maior do que 1 uma função estritamente crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Assim, devemos trabalhar com o mínimo da expressão:

$f (t) = 5 + 2 \cdot sen (π \cdot t)$

para $0 \leq t \leq 2$ , que será atingido quando o seno atingir seu valor mínimo, que é $- 1$ . Portanto:

$sen (π \cdot t) = - 1 \Leftrightarrow π \cdot t = \frac{3 π}{2} + k \cdot 2 π \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} + 2 k$ , com $k \in ℤ$

Sendo $0 \leq t \leq 2$

, devemos fazer $k = 0$

$k = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} + 2 \cdot 0 \Leftrightarrow$

$t = 1,5 h$