Questão 89 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Circunferência G.A.

Duas circunferências com raio 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1,y1) e (x2,y2).

O valor de ${(x_{1} + y_{1})}^{2} + {(x_{2} + y_{2})}^{2}$

é igual a:

a)	$\frac{5}{2}$
b)	$\frac{7}{2}$
c)	$\frac{9}{2}$
d)	$\frac{11}{2}$
e)	$\frac{13}{2}$

Resolução

O desenho correspondente à situação descrita é:

As equações das circunferências λ₁ e λ₂ são:

$\begin{array}{l} λ_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1^{2} \\ λ_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2^{2} \end{array}$

Os pontos em comum às duas circunferências são pontos que devem

satisfazer simultaneamente as equações das circunferências, ou seja, devem ser as soluções do sistema:

${\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1^{2} \\ {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2^{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 2 y + 1 = 1 \\ x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow$

${\begin{cases} x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 y + 1 = 0 \\ x^{2} - 4 x + y^{2} - 4 y + 4 = 0 \end{cases}$

Subtraindo membro a membro uma equação da outra, vem que:

$2 x + 2 y - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (x + y) = 3 \Leftrightarrow x + y = \frac{3}{2}$

Assim, sendo (x₁,y₁) e (x₂,y₂) coordenadas de pontos que satisfazem essa igualdade, segue que:

${(x_{1} + y_{1})}^{2} + {(x_{2} + y_{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} \Leftrightarrow$

${(x_{1} + y_{1})}^{2} + {(x_{2} + y_{2})}^{2} = \frac{9}{2}$