Questão 88 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 88

Cones

Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível da água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,

Dados:

$π$ é aproximadamente 3,14.

O volume $V$ de um cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$ é

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

a)	4 horas e 50 minutos.
b)	5 horas e 20 minutos.
c)	5 horas e 50 minutos.
d)	6 horas e 20 minutos.
e)	6 horas e 50 minutos.

Resolução

Observe a figura abaixo

Note que, o cone maior e o cone menor são semelhantes, logo, sendo v o volume do cone menor e V o volume do cone maior, temos:

${(\frac{6}{12})}^{3} = \frac{v}{V} \Leftrightarrow v = \frac{V}{8}$

Assim, o volume a ser preenchido pela água é dado por um tronco de cone, que é a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor, ou seja:

$\underset{}{V_{T}} = V - v \Leftrightarrow V_{T} = V - \frac{V}{8} \Leftrightarrow V_{T} = \frac{7 V}{8}$

No enunciado é dado $π \approx 3,14$ , então:

$V_{T} = \frac{7 V}{8} \Leftrightarrow V_{T} = \frac{7}{8} \cdot \frac{π}{3} \cdot 4^{2} \cdot 12 \Leftrightarrow V_{T} = 56 π \approx 175,84 m^{3}$

Lembrando que a vazão é dada em litros por minuto e que:

$1 m^{3} = 1000 L$

Segue que:

$V_{T} = 56 π \approx 175,84 m^{3} = 17584 L$

Agora, basta dividirmos o volume pela vazão para obtermos o tempo gasto.

$\frac{175840 L}{500 \frac{L}{min}} = \frac{175840}{500} = 351,68 \min \approx 5 h 50 min$