Questão 87 1ª fase

Dado o polinômio $P\left(x\right)=x^3-3x^2+7x-5$

, cujos coeficientes são todos inteiros, então, pelo teorema das raízes racionais, temos que se $P\left(x\right)$

admite alguma raiz racional do tipo $\frac{p}{q}$

, com p e q inteiros primos entre si, então p é divisor de −5 (termo independente) e q é divisor de 1 (coeficiente do termo dominante). Deste modo, as possíveis raízes racionais seriam $\pm 1$

e $\pm 5$

.

Como a soma dos coeficiente de $P\left(x\right)$

é nula, então 1 é raiz de $P\left(x\right)$

. Logo, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:

Deste modo, fatorando $P\left(x\right)$

:

$P\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot \left(x^2-2x+5\right)$

Para encontrarmos as outras duas raízes complexas, fazemos:

$x^2-2x+5=0\iff x=\frac{2\pm 4i}{2}\iff x=1\pm 2i$

Logo, sendo $\xi$

um número complexo de parte imaginária positiva, ficamos com:

$\xi =1+2i$

E,

${\xi }^3={\left(1+2i\right)}^3=1+3\cdot 1^2\cdot \left(2i\right)+3\cdot 1\cdot {\left(2i\right)}^2+{\left(2i\right)}^3\iff$

${\xi }^3=1+6i-12-8i\iff {\xi }^3=-11-2i$

Portanto,

$\boxed{\mathrm{Re}\left({\xi }^3\right)=-11}$