Questão 85 1ª fase

Para resolver o exercício, vamos considerar o prolongamento dos segmentos $\overline{AD}$ e $\overline{BN}$, até o ponto de interseção $G$

Como $\overline{DN}$ possui metade do comprimento de $\overline{AB}$ e $\overline{AB}\parallel \overline{DN}$, segue que segmento $\overline{AG}$ mede 4 (o dobro do segmento $\overline{AD}$ ).

Note que os triângulos $BEM$ e $GEA$ são semelhantes (caso AA). Sendo $h_1$ e $H_1$ as alturas dos triângulos $BEM$ e $GEA$ , respectivamente, como $\overline{BM}=1$ e $\overline{AG}=4$ , concluímos que $H_1=4\cdot h_1$ (a razão entre os lados de dois triângulos congruentes é igual a razão entre suas alturas). Porém, assim, a área do triângulo $BEM$ é:

$S_{BEM}=\frac{1.\frac{4}{5}}{2}=\frac{2}{5}.$

Por outro lado, os triângulos $ABF$ e $CNF$ também são semelhantes (caso AA). Sendo assim, como suas bases são, respectivamente, 4 e 2, suas alturas $H_2$ e $h_2$ estão relacionadas por $H_2=2\cdot h_2$. Logo,

$H_2+h_2=2\iff 3\cdot h_2=2\iff h_2=\frac{2}{3}.$

Portanto, a área do triângulo $CNF$ é

$S_{CNF}=\frac{2\cdot \frac{2}{3}}{2}=\frac{2}{3}.$

Agora, note que o triângulo $BCN$ possui base e altura iguais a 2, e portanto,

$S_{BCN}=\frac{2\cdot 2}{2}=2.$

Mas, sua área é igual a soma das áreas dos triângulos $BEM$ e $CNF$, com a área do quadrilátero $CMEF$, ou seja,

${\text{S}}_{BEM}+S_{CNF}+S_{CMEF}=2\iff$

$\frac{2}{5}+\frac{2}{3}+{\text{S}}_{CMEF}=2\iff$

${\text{S}}_{CMEF}=\frac{14}{15}.$

Por fim, note que a área do triângulo $AEF$ é a área do triângulo $ACM$ menos a área do quadrilátero $CMEF$ . O triângulo $ACM$ possui base 1 e altura 4, portanto,

$S_{ACM}=\frac{1\cdot 4}{2}=2.$

Então,

${\text{S}}_{AEF}=2-\frac{14}{15}=\frac{16}{15}.$