Questão 84 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 84

Função Quadrática Áreas de quadriláteros

O retângulo $A B C D$ , representado na figura, tem lados de comprimento $A B = 3$ e $B C = 4$ . O ponto $P$ pertence ao lado $\bar{B C}$ e $B P = 1$ . Os pontos $R$ , $S$ e $T$ pertencem aos lados $\bar{A B}$ , $\bar{C D}$ e $\bar{A D}$ , respectivamente. O segmento $\bar{R S}$ é paralelo a $\bar{A D}$ e intercepta $\bar{D P}$ no ponto $Q$ . O segmento $\bar{T Q}$ é paralelo a $\bar{A B}$ .

Sendo $x$ o comprimento de $\bar{A R}$ , o maior valor da soma das áreas do retângulo $A R Q T$ , do triângulo $C Q P$ e do triângulo $D Q S$ , para $x$ variando no intervalo aberto $] 0,3 [$ , é

a)	$\frac{61}{8}$
b)	$\frac{33}{4}$
c)	$\frac{17}{2}$
d)	$\frac{35}{4}$
e)	$\frac{73}{8}$

Resolução

Devemos calcular o valor máximo da soma das áreas:

$S_{A R Q T} + S_{C Q P} + S_{D Q S}$

Para isso, observe que o $Δ P C D$

é retângulo e isósceles pois $\bar{D C} \equiv \bar{P C}$

e além disso:

$Δ P C D \sim Δ D T Q$

Logo, como $A R = T Q = x$

temos que $D T = x$

de onde segue $T A = 4 - x$

Desta forma, conseguimos obter as áreas:

$S_{A R Q T} = x \cdot (4 - x)$

e $S_{D Q S} = \frac{x^{2}}{2}$

Agora, para obter $S_{C Q P}$

, note que sua altura relativa à base PC tem mesma medida que RB, logo

$S_{C Q P} = \frac{(P C) \cdot (R B)}{2} = \frac{3 \cdot (3 - x)}{2}$

$S_{A R Q T} + S_{C Q P} + S_{D Q S} = x \cdot (4 - x) + \frac{3}{2} \cdot (3 - x) + \frac{x^{2}}{2} = \frac{- x^{2} + 5 x + 9}{2} = S (x)$

Como $S (x)$

é uma função quadrática, seu gráfico é dado por uma parábola (neste caso com concavidade para baixo, pois coeficiente do termo quadrático é negativo). Portanto podemos determinar sua área máxima através do vértice ( $y_{V}$

Assim,

$y_{V} = \frac{- Δ}{4 a} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{4 \cdot \frac{- 1}{2} \cdot \frac{9}{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}}{4 \cdot \frac{- 1}{2}} \Leftrightarrow$

$y_{V} = \frac{- \frac{36}{4} - \frac{25}{4}}{- 2} = \frac{\frac{- 61}{4}}{- 2}$

$\Leftrightarrow$

$y_{V} = \frac{61}{8}$

OBS: Note que: $x_{V} = - \frac{\frac{5}{2}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = \frac{5}{2}$

, que pertence ao intervalo aberto estipulado pelo enunciado.