Questão 83 1ª fase

Primeira Resolução:

Vamos calcular a quantidade de casos em que:

apenas um participante tira seu próprio nome;

apenas dois dos participantes tiram seus respectivos nomes;

todos os quatro participantes tirem seus respectivos nomes.

Note que não há como exatamente três participantes retirarem seus respectivos nomes, pois, o quarto certamente também deveria pegar seu próprio nome.

Denotemos os participantes por A (Ana), C (Cláudia), P (Paula) e R (Rodrigo).

I. Fixemos o caso em que A retira seu próprio nome. Assim, C não poderá retirar C, sobrando-lhe duas opções: P ou R. Caso C retire R, então R não poderá retirar C, uma vez que sobraria para P apenas seu próprio nome. O mesmo ocorre se C tirar P. Nesse caso, P deve retirar R.

Assim, para cada participante fixado retirando seu próprio nome, há dois casos em que ele é o único a fazer isso, totalizando 4 × 2 = 8 possibilidades em que apenas um participante retira o próprio nome.

II. Se fixamos dois participantes retirando seus respectivos nomes, resta que os outros dois retirem o nome um do outro. Assim, o número de possibilidades deste caso é igual ao número de possibilidades de se escolher dois entre os quatro participantes, que é:

$C_2^4=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6$

.

III. Só há uma maneira de que todos os quatro participantes retirem cada um o seu respectivo nome.

Totalizamos assim 8 + 6 + 1 = 15 casos que não são pertinentes à brincadeira. Como há 4! = 24 casos possíveis, os casos em que estamos interessados são 24 − 15 = 9. Portanto, a probabilidade p procurada é:

$p=\frac{9}{24}\iff$

$p=\frac{3}{8}$

.

Segunda Resolução:

O exercício lida com um problema que em Análise Combinatória é chamado de permutação caótica (ou desarranjo), no qual queremos calcular a quantidade de permutações de n elementos em que, após a permutação, nenhum deles ocupe sua posição inicial.

Seja d_n o número de possíveis desarranjos de n elementos. Podemos estabelecer inicialmente que:

$GEA$

, pois é impossível permutar um único elemento sem que ele ocupe seu lugar inicial;

$d_2=1$

, uma vez que o único desarranjo possível é trocar a posição dos dois elementos.

Já para qualquer n natural tal que $n\ge 3$

, selecionamos um elemento qualquer, por exemplo o que ocupava a primeira posição, e escolhemos a nova posição dele: temos n − 1 opções para essa escolha, já que só não podemos colocá-lo em sua posição original. A partir disso, seja k a posição onde ele foi colocado. Temos que:

se o elemento que estava na posição k foi para a posição 1, temos $d_{n-2}$

maneiras de permutar os demais;

se o elemento que estava na posição k não foi para a posição 1, temos $d_{n-1}$

maneiras de permutar os demais (pensando que ao invés de não querer o elemento que estava na posição k em sua posição original, agora não queremos ele na posição 1).

Temos aqui:

$d_n=\left(n-1\right)\cdot \left(d_{n-1}+d_{n-2}\right)$

Assim:

$d_4=3\cdot \left(d_3+d_2\right)=3\cdot \left(2\cdot \left(d_2+d_1\right)+d_2\right)=3\cdot \left(2\cdot \left(1+0\right)+1\right)=9$

Como o total de permutações entre os quatro amigos é $4!=24$

, a probabilidade de que nenhum deles tire o próprio nome é

$p=\frac{9}{24}\iff$

$p=\frac{3}{8}$

.

Terceira Resolução:

O total de permutações é dado por $4!=24$

.

O número de permutações em que pelo menos um dos participantes tirou seu próprio nome pode ser calculado pelo princípio da inclusão e exclusão:

$\left(\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right)\cdot 3!-\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)\cdot 2!+\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)\cdot 1!-\left(\begin{array}{l}4\\ 4\end{array}\right)\cdot 0!=15$

,

onde inicialmente incluímos os casos em que um elemento está fixo e permutando os demais, em seguida descontamos aqueles casos em que dois ficaram fixos, permutando os demais, em seguida incluímos os casos em que três ficaram fixos, permutando os demais, etc.

Assim, o total de casos em que nenhum elemento ficou fixo é dada por:

$24-15=9$

Logo, a probabilidade de que nenhum deles tire o próprio nome é:

$p=\frac{9}{24}\iff$

$p=\frac{3}{8}$

.