Questão 81 1ª fase

Seja θ a medida do ângulo HÂF. Construindo o triângulo HAF, temos que:

Vamos calcular as medidas dos lados do triângulo HAF. Para tanto, observemos que, sendo ABCDEFGH paralelepípedo reto-retângulo, os triângulos EAF, EHF e EAH são todos triângulos retângulos em E.

Assim:

$\{\begin{array}{l}AF=\sqrt{E{A}^2+E{F}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ AH=\sqrt{E{A}^2+E{H}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ HF=\sqrt{E{H}^2+E{F}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{array}$

A partir daqui, podemos apontar dois modos para determinar o seno do ângulo HÂF.

Primeiro modo:

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo HAF, segue que:

$H{F}^2=A{F}^2+A{H}^2-2\cdot AF\cdot AH\cdot \cos \theta \iff$

$\cancel{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2}=\cancel{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \cos \theta \iff$

..

Da relação fundamental da Trigonometria, vem que:

${\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1\iff {\mathrm{sen}}^2\theta =1-{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}^2\iff$

${\mathrm{sen}}^2\theta =\frac{9}{10}\iff \mathrm{sen}\theta =\pm \frac{3}{\sqrt{10}}$

Sendo θ a medida do ângulo interno de um triângulo, temos que $0°<\theta <180°$

, de modo que $\mathrm{sen}\theta >0$

. Assim, ficamos com:

$\mathrm{sen}\theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$

Segundo modo:

Como $AF=2\sqrt{5}=HF$

, o triângulo HAF é isósceles. Assim, a altura relativa ao lado $\overline{AH}$

será dada pelo segmento $\overline{MF}$

, onde M é o ponto médio do lado $\overline{AH}$

. Temos a figura:

Sendo $AM=\frac{AH}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

, pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AMF vem que:

$MF=\sqrt{A{F}^2-A{M}^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Assim:

$\mathrm{sen}\theta =\frac{MF}{AF}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\cdot \bcancel{2}}{\bcancel{2}\sqrt{10}}\iff$

$\mathrm{sen}\theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$