Questão 10 Matemática e Inglês - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 10

Geometria Espacial Tronco de pirâmide

Uma caixa d’água tem o formato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa.

a) Qual o volume total da caixa d’água?

b) Se a caixa contém (13/6) m3 de água, a que altura de sua base está o nível d’água?

Resolução

a) Observe a figura abaixo:

O volume total da caixa d'água é dado por:

$V_{A B C D M} = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 4 = \frac{16}{3} m^{3}$

Como as pirâmides ABCDM e IJKLM são semelhantes, temos:

$\frac{V_{A B C D M}}{V_{I J K L M}} = {(\frac{4}{1})}^{3} \Rightarrow \frac{\frac{16}{3}}{V_{I J K L M}} = 64 \Rightarrow V_{I J K L M} = \frac{1}{12} m^{3}$

Logo, o volume total da caixa d'água é:

$V_{T O T A L} = V_{A B C D I J K L} = \frac{16}{3} - \frac{1}{12} = \frac{63}{12} \Rightarrow V_{T O T A L} = \frac{21}{4} m^{3}$

O volume da pirâmide EFGHM é dado por:

$V_{E F G H M} = \frac{13}{6} + \frac{1}{12} = \frac{27}{12} m^{3}$

Seja h a altura da água em relação à base da caixa d´água. Como as pirâmides EFGHM e IJKLM são semelhantes, temos:

$\frac{V_{E F G H M}}{V_{I J K L M}} = {(\frac{h + 1}{1})}^{3} \Rightarrow \frac{\frac{27}{12}}{\frac{1}{12}} = {(h + 1)}^{3} \Rightarrow {(h + 1)}^{3} = 27 \Rightarrow h + 1 = 3 \Rightarrow h = 2 m$