Questão 7 Matemática e Inglês - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 7

Função Exponencial Função Logarítmica

O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é

$T (t) = (T_{0} - T_{e x t}) \cdot 10^{- t / 4} + T_{e x t}$ ,

onde T₀ é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e T_ext é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T₀ = 21 °C e T_ext = 30 °C, responda às questões abaixo.

a) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. Em seguida, esboce abaixo o gráfico de T(t).

b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4 °C. Se necessário, use $\log_{10} 2 \approx 0,30$ , $\log_{10} 3 \approx 0,48$ e $\log_{10} 5 \approx 0,70$ .

Resolução

a) Como $T_{0} = 21 °C$ e $T_{e x t} = 30 °C$ , temos:

$T (t) = (21 - 30) \cdot 10^{- \frac{t}{4}} + 30 \Leftrightarrow T (t) = 30 - 9 \cdot 10^{- \frac{t}{4}}$

Para $t = 4 h$ , temos:

$T (4) = 30 - 9 \cdot 10^{- \frac{4}{4}} \Leftrightarrow T (4) = 29, 1 °C$

O gráfico é dado por:

b) Queremos encontrar $t$ de modo que $T (t) = 25 °C$ . Assim, fazemos:

$30 - 9 \cdot 10^{- \frac{t}{4}} = 25 \Leftrightarrow 9 \cdot 10^{- \frac{t}{4}} = 5 \Leftrightarrow 10^{- \frac{t}{4}} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \Leftrightarrow - \frac{t}{4} = \log_{10} (\frac{5}{9}) \Leftrightarrow$

$t = - 4 \cdot (\log_{10} 5 - \log_{10} 3^{2}) \Leftrightarrow t = - 4 \cdot (0, 70 - 2 \cdot 0, 48) \Leftrightarrow t = 1, 04 h$

Embora acreditemos que não seja necessário, tal resposta também poderia ser expressa como 1 h, 2 min e 24 s.