Questão 54 Unesp 2023 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 54

Pêndulo Simples

Um professor faz um experimento para demonstrar a relação entre a frequência de oscilação de um pêndulo simples e o comprimento desse pêndulo. Para isso, segura uma extremidade de um fio de massa desprezível que está apoiado em um pino horizontal fixo em uma parede, de modo que o comprimento suspenso desse fio meça 80 cm. Nessa situação, uma pequena esfera, presa à outra extremidade desse fio, oscila em um plano vertical, entre os pontos P e Q, com uma frequência de oscilação $f_{0}$ .

Em determinado instante do movimento oscilatório, o professor puxa o fio movimentando sua mão horizontalmente para a direita com velocidade constante de 20 cm/s, durante 3 s, e o fio desliza sobre o pino. Considerando que o período de oscilação desse pêndulo possa ser calculado com a expressão $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ , em que $L$ é o comprimento do pêndulo e $g$ é a aceleração da gravidade local, ao final do intervalo de 3 s a nova frequência de oscilação desse pêndulo será:

a)	$4 f_{0}$
b)	$2 f_{0}$
c)	$\frac{f_{0}}{2}$
d)	$\frac{f_{0}}{4}$
e)	$8 f_{0}$

Resolução

O período do pêndulo simples é dado pela seguinte expressão (fornecida pelo próprio enunciado):

$T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ ,

onde $L$ é o comprimento do pêndulo e $g$ é a aceleração da gravidade. A frequência é o inverso do período, portanto, podemos determinar a equação para o cálculo da frequência do pêndulo simples da seguinte maneira.

$f = \frac{1}{T} \Rightarrow f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{L}} .$

A partir dessa relação matemática, temos que a frequência é inversamente proporcional à raíz quadrada do comprimento do período. Quando o professor que realiza o experimento puxa o fio na horizontal, o comprimento do pêndulo diminui com o tempo, logo, a frequência aumenta. O deslocamento horizontal devido ao movimento realizado no fio é igual a diminuição do comprimento do pêndulo. Como o movimento é uniforme, velocidade constante, o deslocamento horizontal provocado pelo professor no fio será:

$Δ S = v \cdot Δ t \Rightarrow Δ S = 20 \cdot 3 \Rightarrow Δ S = 60 cm .$

Portanto o novo comprimento do pêndulo é:

$L' = 80 - 60 \Rightarrow L' = 20 cm .$

Tendo em vista a diminuição do comprimento, a relação entre os comprimentos final e o inicial será

$\frac{L'}{L} = \frac{20}{80} \Rightarrow L' = \frac{1}{4} L .$

O comprimento final diminuiu 4 vezes, como a frequência é inversamente proporcional a raiz quadrada do comprimento, a frequência deve aumentar duas vezes

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{L'}} \Rightarrow f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{\frac{L}{4}}} \Rightarrow f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{4 g}{L}} \Rightarrow f = 2 \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{L}} \Rightarrow f = 2 f_{0} .$

Alternativa correta é a B.