Questão 58 Unesp 2023 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 58

Teorema dos Cossenos

A figura indica o projeto de um braço mecânico em que $\bar{A B}$ assume função próxima de um bíceps humano, $\bar{B C}$ de um antebraço e $\bar{C D}$ de um punho. Sabe-se que a medida de $\bar{A B}$ supera a de $\bar{C D}$ em 11 cm e que a medida de $\bar{B C}$ é 8 cm.

Se, para $α = 60 °$ , a distância entre os pontos A e C do mecanismo é igual a $8 \sqrt{3} c m$ , a extensão máxima horizontal do braço mecânico, em cm, é igual a

a)	31.
b)	28.
c)	30.
d)	27.
e)	29.

Resolução

Pelo enunciado, tem-se as seguintes medidas, em centímetros, para os segmentos:

$A B = x$ , $B C = 8$ e $C D = x - 11$ .

Quando $α = 60 °$ , a distância entre $A$ e $C$ é igual a $8 \sqrt{3} cm$ , logo, podemos formar o triângulo $A B C$ :

Aplicando a Lei dos Cossenos:

${(8 \sqrt{3})}^{2} = x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos 60 °$

$192 = x^{2} + 64 - 16 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$

$0 = x^{2} + 8 x - 128$

Pelas relações de Girard para um polinômio de grau 2, ou seja, soma e produto:

$(16) + (- 8) = 8 (16) \cdot (- 8) = - 128$

Então, as raízes são $x = 16$ ou $x = - 8$ (não convém).

Logo, $A B = 16 cm$ e $C D = 16 - 11 = 5 cm$ .

A extensão máxima horizontal do braço, é dada quando os segmentos estão alinhados, ou seja, é a soma dos segmentos:

$A B + B C + C D = 16 + 8 + 5 = 29 cm$ .